Diviziunile stiintei logicii matematice sunt calculul propozitiilor si calculul predicatelor.
O constructie lingvistica se numeste enunt daca foloseste descrierea sau comunicarea faptelor. De asemenea, enuntul reprezinta ansamblul de semne carora li s-a dat un sens.
Un enunt se numeste adevarat, daca afirmatia exprimata de el corespunde unui fapt (Aristotel), iar un enunt care nu este adevarat se numeste fals.
Se spune ca un enunt respecta principiul tertului exclus daca el este adevarat sau fals; de asemenea, un enunt respecta principiul non-contradictiei daca nu este simultan adevarat sau fals.
Propozitia logica reprezinta un enunt despre care se stie ca este sau adevarat sau fals, insa nu si una si alta simultan. Astfel, propozitia logica respecta ambele principii: principiul tertului exclus si principiul non-contradictiei.
Logica presupune ca o propozitie exprima relatii obiective intre obiectele sau fenomenele naturii, gandirii si societatii. Prin urmare, logica se intereseaza de propozitiile cu sens, adica de acele propozitii in care se afirma (sau se neaga) ca anumite obiecte ale realitatii sunt (sau nu sunt) intr-un anumit fel, au (sau nu au) anumite relatii intre ele.
De aici se ajunge inevitabil la impartirea propozitiilor studiate in logica matematica in propozitii adevarate si propozitii false.
O propozitie p este adevarata daca in ea se exprima ca anumite obiecte se comporta intr-un anumit fel, iar obiectele respective se comporta intr-adevar asa.
O propozitie p este falsa daca in ’p’ se exprima ca anumite obiecte sau fenomene se comporta intr-un anumit fel, iar obiectele nu se comporta de fapt, astfel.
O propozitie este sau adevarata sau falsa, neputand fii adevarata si falsa in acelasi timp.
Exista in matematica, in alte stiinte si in viata curenta, enunturi despre care nu putem afirma cu certitudine ca sunt fie adevarate, fie false. Exista alte enunturi despre care nu putem afirma nici ca sunt adevarate, nici ca sunt false, decizia asupra adevarului sau falsitatii lor fiind conditionata de anumite date de referinta. Aceasta delimitare ne indreptateste sa definim una dintre aceste categorii, pentru a o distinge de cealalta.
NOTATII:
Propozitiile se noteaza cu litere mici ( p, q, r, s, t... sau p1, p2...) urmate, eventual, de enunt, care este scris intre ghilimele, atunci cand se doreste ca acesta sa fie precizat.
De exemplu:
1) p: ‚1 + 1 = 2’
2) q: ‚7 ≤ 2’
3) r: ‚In orice triunghi lungimea unei laturi este mai mica decat suma lungimilor celorlalte doua.’
Toate aceste enunturi sunt propozitii deoarece despre fiecare se poate spune daca este adevarata sau falsa. De exemplul 1) si 3) sunt propozitii adevarate, iar 2) este propozitie falsa.
O clasa extrem de larga de propozitii adevarate o constituie teoremele din matematica.
Din definitie, clasa tuturor propozitiilor se descompune in doua clase disjuncte, numite valori de adevar. Astfel, daca o propozitie este adevarata, spunem ca ea are valoarea de adevar adevarul si se noteaza, in acest caz, prin semnul 1 sau A. Cand propozitia este falsa, spunem ca ea are valoarea de adevar falsul si se noteaza prin semnul 0 sau F. In ambele cazuri, 0 si 1 sunt simboluri fara inteles numeric.
p q r
A / 1 F / 0 A / 1
De cele mai multe ori, valorile de adevar sunt inregistrate intr-un asa-zis tabel de adevar. De exemplu, pentru propozitiile p, q, r considerate mai sus avem tabelul de adevar:
De asemenea, valoarea de adevar a unei propozitii se noteaza v(p). Tabelul precedent exprima faptul ca:
1 daca propozitia este adevarata
v(p) =
0 daca propozitia este falsa
In matematica se intalnesc si enunturi a caror valoare de adevar este necunoscuta. Acestea se numesc conjecturi.
De exemplu: enuntul ‚Orice numar par mai mare sau egal cu 6 este suma a doua numere prime impare’ este conjectura lui Goldbach, care dateaza din 1742. Pana in prezent, nu s-a reusit nici demonstrarea si nici infirmarea sa.
Definitiile si toate conceptele matematice se bazeaza pe teoria multimilor. Mai mult, metodele rationamentului matematic sunt o combinatie de argumente ale logicii matematice si teoriei multimilor.
O multime este rezultatul cuprinderii intr-un singur tot a unor obiecte determinate ale perceperii sau gandirii noastre. Aceste obiecte se numesc elemente ale multimii (Cantor).
Multimile se noteaza cu litere mari, iar elementele lor cu litere mici. Daca obiectul a este un element al multimii M, se scrie a M (se citeste ‚a apartine M’ sau ‚M contine pe a’). Se scrie a M daca a nu este un element al lui M.
Predicatul (sau propozitia cu variabile) este un enunt p ( x1, x2, ... xn) ce depinde de variabilele x1, x2, ... xn (n N* ), care are proprietatea ca pentru orice valori date variabilelor din multimile A1, A2, ... An el devine o propozitie logica.
Deci un predicat este bine precizat de enuntul sau si de multimile in care variabilele iau valori (aceste multimi formeaza ceea ce se numeste domeniul de definitie al predicatului). Predicatele sunt unare, binare, ternare, ... dupa cum depind, respectiv de una, doua, trei, ... variabile.
De exemplu: p(x): ‚x + 2 = 4’ , x Z; predicatul p(x) este adevarat pentru x = 2, dar este fals pentru x = 1.
Ecuatiile, inecuatiile, identitatile sunt predicate. Teoremele matematice sunt bazate pe predicate.
Trimis de Florescu Alexandru
No comments:
Post a Comment