Wednesday, June 18, 2014
Logica matematica - aspecte teoretice
Notiunea de propozitie. Se numeste propozitie un enunt despre care stim ca este advarat sau fals, însa nu si una alta simultan.
Exemple. Consideram enunturile:
1)În orice triunghi suma unghiurilor sale este egala cu 180º ;
2) ,,3+2=5'';
3)''2>5''
4) Balena este un mamifer'' ;
5) Planeta Venus este satelit al Pamântului''.
Toate aceste enunturi sunt propozitii, deoarece despre fiecare putem sa stim daca este adevarata sau falsa.
De exemplu 1),2) si 4) sunt propozitii adevarate 10310u202k , iar 3) si 5) sunt propozitii false.
Observatie. O clasa foarte larga de propozitii adevarate 10310u202k o constituie teoremele din matmatica.
Sa consideram enunturile 1),,x+2=5'' ; 2)''x-1<4'' 3)''Deschide usa!'' ; 4)''Numarul x divide numarul y'' ; 5)''Atomul de aur este galben'.
Se observa ca 1), 2), 3), 4) si 5) sunt enunturi pentru care conditia de mai sus(de afi adevarat sau fals) nu este îndeplinita. Mai exact enunturile 1), 2) si 4) au caracter variabil, enuntul 3) este o porunca despre care este lipsit de sens sa afirmam ca este adevarata sau falsa, enuntul 5) este absurd, deoarece e lipsit de sens sa vorbim despre culoarea unui atom.
Valoare de adevar. Daca o propozitie este adevarata, spunem ca ea are valoarea de adevar ,adevarul' si vom nota valoarea de adevar, în acest caz, prin semnul 1 sau A; când propozitia este falsa spunem ca ea are valoarea de adevar ,falsul' si vom nota valoarea de adevar prin semnul 0 sau F.
Observatie. 0 si 1 sunt aici simboluri fara înteles numeric.
Vom nota propozitiile cu literele p, q, r... sau p1, p2,, p3 ... . Acestea se pot compune cu ajutorul asa-numitilor conectori logici ,non' , ,si' , ,sau' dând propozitii di ce în ce mai complexe.
De exemplu, consideram propozitia p: Balena este un mamifer. Negatia ﾡp este propozitia : Non balena este un mamifer sau, în limbajul obisnuit : Balena nu este un mamifer. În acest caz ﾡ p este o prpozitie falsa
Conjunctia propozitiilor. Conjunctia propozitiilor p, q este propozitia care se citeste p si q, notata p ʌ q si care este adevarata atunci si numai atunci când fiecare din propozitiile p, q este adevarata.
Disjunctia propozitiilor. Disjunctia propozitiilor p, q este propozitia care se citeste p sau q, notata p v q, si care este adevarata atunci si numai atunci când este adevarata cel putin una din propozitiile p, q.
Logica propozitiilor matematice
Logica propozitiilor matematice - În logică, prin propoziţie înţelegem un enunţ care poate fi ori adevărat ori fals. Oricărei propoziţii i se asociază o valoare de adevăr: este sau adevărată – şi atunci spunem că are valoarea de adevăr 1 – sau este falsă – şi atunci spunem că are valoarea de adevăr 0. Nici o propoziţie nu este în acelaşi timp şi adevărată şi falsă.
Elemente de logica matematica
O propozitie este sau adevarata sau falsa, neputand fii adevarata si falsa in acelasi timp.Exista in matematica, in alte stiinte si in viata curenta, enunturi despre care nu putem afirma cu certitudine ca sunt fie adevarate, fie false. Exista alte enunturi despre care nu putem afirma nici ca sunt adevarate, nici ca sunt false, decizia asupra adevarului sau falsitatii lor fiind conditionata de anumite date de referinta. Aceasta delimitare ne indreptateste sa definim una dintre aceste categorii, pentru a o distinge de cealalta.
Trimis de Calin Oana
Exemple. Consideram enunturile:
1)În orice triunghi suma unghiurilor sale este egala cu 180º ;
2) ,,3+2=5'';
3)''2>5''
4) Balena este un mamifer'' ;
5) Planeta Venus este satelit al Pamântului''.
Toate aceste enunturi sunt propozitii, deoarece despre fiecare putem sa stim daca este adevarata sau falsa.
De exemplu 1),2) si 4) sunt propozitii adevarate 10310u202k , iar 3) si 5) sunt propozitii false.
Observatie. O clasa foarte larga de propozitii adevarate 10310u202k o constituie teoremele din matmatica.
Sa consideram enunturile 1),,x+2=5'' ; 2)''x-1<4'' 3)''Deschide usa!'' ; 4)''Numarul x divide numarul y'' ; 5)''Atomul de aur este galben'.
Se observa ca 1), 2), 3), 4) si 5) sunt enunturi pentru care conditia de mai sus(de afi adevarat sau fals) nu este îndeplinita. Mai exact enunturile 1), 2) si 4) au caracter variabil, enuntul 3) este o porunca despre care este lipsit de sens sa afirmam ca este adevarata sau falsa, enuntul 5) este absurd, deoarece e lipsit de sens sa vorbim despre culoarea unui atom.
Valoare de adevar. Daca o propozitie este adevarata, spunem ca ea are valoarea de adevar ,adevarul' si vom nota valoarea de adevar, în acest caz, prin semnul 1 sau A; când propozitia este falsa spunem ca ea are valoarea de adevar ,falsul' si vom nota valoarea de adevar prin semnul 0 sau F.
Observatie. 0 si 1 sunt aici simboluri fara înteles numeric.
Vom nota propozitiile cu literele p, q, r... sau p1, p2,, p3 ... . Acestea se pot compune cu ajutorul asa-numitilor conectori logici ,non' , ,si' , ,sau' dând propozitii di ce în ce mai complexe.
p ﾡ p
1 0
0 1
Negatia propozitiilor. Negatia propozitiei p este propozitia non p care se noteaza ﾡ p si care este adevarata când p este falsa si falsa când p este adevarata. Valoarea de adevar a propozitiei ﾡ p este data in tabelul urmator:De exemplu, consideram propozitia p: Balena este un mamifer. Negatia ﾡp este propozitia : Non balena este un mamifer sau, în limbajul obisnuit : Balena nu este un mamifer. În acest caz ﾡ p este o prpozitie falsa
Conjunctia propozitiilor. Conjunctia propozitiilor p, q este propozitia care se citeste p si q, notata p ʌ q si care este adevarata atunci si numai atunci când fiecare din propozitiile p, q este adevarata.
p q p ʌ q
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 0
De exemplu, sa consideram propozitiile p: ,2+4+6' si q: ,Luna este satelit al Pamântului'. În acest exemplu p ʌ q este o propozitie adevarata deoarece p, q sunt amândoua adevarate. Deseori în loc de p ʌ q se mai foloseste notatia p&q.Disjunctia propozitiilor. Disjunctia propozitiilor p, q este propozitia care se citeste p sau q, notata p v q, si care este adevarata atunci si numai atunci când este adevarata cel putin una din propozitiile p, q.
p q p v q
1 1 1
1 0 1
0 1 1
0 0 0
Logica propozitiilor matematice
Logica propozitiilor matematice - În logică, prin propoziţie înţelegem un enunţ care poate fi ori adevărat ori fals. Oricărei propoziţii i se asociază o valoare de adevăr: este sau adevărată – şi atunci spunem că are valoarea de adevăr 1 – sau este falsă – şi atunci spunem că are valoarea de adevăr 0. Nici o propoziţie nu este în acelaşi timp şi adevărată şi falsă.
Elemente de logica matematica
O propozitie este sau adevarata sau falsa, neputand fii adevarata si falsa in acelasi timp.Exista in matematica, in alte stiinte si in viata curenta, enunturi despre care nu putem afirma cu certitudine ca sunt fie adevarate, fie false. Exista alte enunturi despre care nu putem afirma nici ca sunt adevarate, nici ca sunt false, decizia asupra adevarului sau falsitatii lor fiind conditionata de anumite date de referinta. Aceasta delimitare ne indreptateste sa definim una dintre aceste categorii, pentru a o distinge de cealalta.
Trimis de Calin Oana
Ce este matematica? Dar logica? Si economia?
Ce este matematica?
Matematica este în general definită ca știința ce studiază relațiile cantitative, modelele de structură, de schimbare și de spațiu. În sens modern, matematica este investigarea structurilor abstracte definite în mod axiomatic folosind logica formală.
Dar logica?
Logica este o specie a cunoașterii exacte. Obiectul cunoașterii sale este forma abstractă a gândirii umane. Logica studiind forma gândirii se deosebește de toate celelalte științe care rețin conținutul gândirii. Pe fizician, pe chimist, pe biolog, pe sociolog îl interesează în primul rând ce anume se afirmă sau se neagă într-un act de gandire.
Si economia?
Economia este o știință socială ce studiază producția și desfacerea, comerțul și consumul de bunuri și servicii. Potrivit definiției date de Lionel Robbins în 1932, economia este știința ce studiază modul alocării mijloacelor rare în scopuri alternative. Deoarece are ca obiect de studiu activitatea umană, economia este o știință socială
Matematica este în general definită ca știința ce studiază relațiile cantitative, modelele de structură, de schimbare și de spațiu. În sens modern, matematica este investigarea structurilor abstracte definite în mod axiomatic folosind logica formală.
Dar logica?
Logica este o specie a cunoașterii exacte. Obiectul cunoașterii sale este forma abstractă a gândirii umane. Logica studiind forma gândirii se deosebește de toate celelalte științe care rețin conținutul gândirii. Pe fizician, pe chimist, pe biolog, pe sociolog îl interesează în primul rând ce anume se afirmă sau se neagă într-un act de gandire.
Si economia?
Economia este o știință socială ce studiază producția și desfacerea, comerțul și consumul de bunuri și servicii. Potrivit definiției date de Lionel Robbins în 1932, economia este știința ce studiază modul alocării mijloacelor rare în scopuri alternative. Deoarece are ca obiect de studiu activitatea umană, economia este o știință socială
Trimis de Damaschin Nicoleta
Cutia enigmatică - joc interactiv din matematica
Mihai a fost vara aceasta la mare şi i-a adus de acolo un dar surioarei sale mai mici - Ina: o frumoasă cutiuţă împodobită cu 36 de scoici. Pe capacul cutiei erau săpate câteva linii care împart capacul în 8 secţiuni. Ina nu merge încă la şcoală, dar ştie să socotească până la 10.
Cadoul lui Mihai îi place mult prin faptul că de-a lungul fiecărei laturi a capacului sunt aşezate exact câte 10 scoici. Când numără scoicile aflate de-a lungul unei laturi, Ina le socoteşte pe toate câte se găsesc în secţiunile care formează latura respectivă.
Scoicile aflate în secţiunile de la colţuri intră în socoteala atât a laturii verticale, cât şi a celei orizontale. Într-o zi, ştergând cutia cu o cârpă, din nebăgare de seamă, mama a spart 4 scoici. Acum la numărătoare nu mai rezultau 10 scoici de-a lungul fiecărei laturi a capacului. Când o să se întoarcă de la grădiniţă, Ina o să se necăjească.
- Lasă mamă, - spuse Mihai, le aranjez eu în aşa fel, încât Ina nu va observa El dezlipi cu atenţie o parte din cele 32 de scoici rămase şi le lipi din nou cu atâta iscusinţă pe capacul cutiei, încât de-a lungul fiecărei laturi se găseau din nou câte 10 scoici. Peste câteva zile altă boroboaţă! Cutia căzu de pe masă şi s-au spart încă 6 scoici - au rămas doar 26.
Dar şi de data aceasta Mihai izbuti să aşeze în aşa fel cele 26 de scoici rămase, că de-a lungul fiecărei laturi Ina să poată număra, ca şi până acum, câte 10 scoici. E drept că, în ultimul caz, scoicile n-au mai putut fi aranjate pe capacul cutiei tot atât de simetric ca până atunci. Ina nu a băgat însă de seamă acest lucru.
Găsiţi ambele soluţii ale lui Mihai.
Cadoul lui Mihai îi place mult prin faptul că de-a lungul fiecărei laturi a capacului sunt aşezate exact câte 10 scoici. Când numără scoicile aflate de-a lungul unei laturi, Ina le socoteşte pe toate câte se găsesc în secţiunile care formează latura respectivă.
Scoicile aflate în secţiunile de la colţuri intră în socoteala atât a laturii verticale, cât şi a celei orizontale. Într-o zi, ştergând cutia cu o cârpă, din nebăgare de seamă, mama a spart 4 scoici. Acum la numărătoare nu mai rezultau 10 scoici de-a lungul fiecărei laturi a capacului. Când o să se întoarcă de la grădiniţă, Ina o să se necăjească.
- Lasă mamă, - spuse Mihai, le aranjez eu în aşa fel, încât Ina nu va observa El dezlipi cu atenţie o parte din cele 32 de scoici rămase şi le lipi din nou cu atâta iscusinţă pe capacul cutiei, încât de-a lungul fiecărei laturi se găseau din nou câte 10 scoici. Peste câteva zile altă boroboaţă! Cutia căzu de pe masă şi s-au spart încă 6 scoici - au rămas doar 26.
Dar şi de data aceasta Mihai izbuti să aşeze în aşa fel cele 26 de scoici rămase, că de-a lungul fiecărei laturi Ina să poată număra, ca şi până acum, câte 10 scoici. E drept că, în ultimul caz, scoicile n-au mai putut fi aranjate pe capacul cutiei tot atât de simetric ca până atunci. Ina nu a băgat însă de seamă acest lucru.
Găsiţi ambele soluţii ale lui Mihai.
Trimis de Alexa Maduta Gheorghe si Baceanu Catalin Dorin
Relatie dintre matematica si desen si logica acesteia: “Triunghi logica economie”
Matematica este o materie foarte veche. Din punct de vedere istoric, ramurile majore ale matematicii au derivat din necesitatea de a face calcule comerciale, de a măsura terenuri și de a predetermina evenimente astronomice cu scopuri agriculturale.
Aceste domenii specifice pot fi folosite pentru a delimita în mod generic tendințele matematicii până în ziua de astăzi, în sensul delimitării a trei tendințe specifice: studiul structurii, spațiului și al schimbărilor.
Matematica este în general definită ca știința ce studiază relațiile cantitative, modelele de structură, de schimbare și de spațiu. În sens modern, matematica este investigarea structurilor abstracte definite în mod axiomatic folosind logica formală.
In final, aici vorbim despre relatia dintre matematica si desen, eu cred ca desenul nu ar fii aparut daca matematica nu exista. Ca de exemplu lu-am o forma geometrica si anume, TRIUNGHIUL(nu conteaza de care) Triunghiul este folosit deobicei in matematica, geometrie etc, dar acesta poate fi folosit si in desen. Ca de exemplu:
In prima imagina regasim o serie de triunghiuri, aceasta formand un desen, unindu-se intre ele, la fel si-n a doua imagina care regasim un triunghi isoscel, format din 6 triunghiuri isosceles.
Lucrurile pot evoluând in desene si mai grele, in care regasim matematica cu formele ei geometrice:
Trimis de Chirita Radu Alexandru
Aceste domenii specifice pot fi folosite pentru a delimita în mod generic tendințele matematicii până în ziua de astăzi, în sensul delimitării a trei tendințe specifice: studiul structurii, spațiului și al schimbărilor.
Matematica este în general definită ca știința ce studiază relațiile cantitative, modelele de structură, de schimbare și de spațiu. În sens modern, matematica este investigarea structurilor abstracte definite în mod axiomatic folosind logica formală.
In final, aici vorbim despre relatia dintre matematica si desen, eu cred ca desenul nu ar fii aparut daca matematica nu exista. Ca de exemplu lu-am o forma geometrica si anume, TRIUNGHIUL(nu conteaza de care) Triunghiul este folosit deobicei in matematica, geometrie etc, dar acesta poate fi folosit si in desen. Ca de exemplu:
In prima imagina regasim o serie de triunghiuri, aceasta formand un desen, unindu-se intre ele, la fel si-n a doua imagina care regasim un triunghi isoscel, format din 6 triunghiuri isosceles.
Lucrurile pot evoluând in desene si mai grele, in care regasim matematica cu formele ei geometrice:
Trimis de Chirita Radu Alexandru
Tuesday, June 17, 2014
Cubul lui Rubbik
Toata lumea crede ca matematica inseamna numai cifre si ecuatii care sunt imposibil de rezolvat. Insa nu toata lumea stie ce poate ascunde matematica si anume jocuri matematice si logice foarte atractive care pot reprezenta o buna modalitate de a-ti utiliza timpul liber.
Printre aceste jocuri matematice si logice se numara si binecunoscutul Cubul Rubik. Este, poate, cel mai faimos puzzle. Un cub de plastic de câțiva centimetri, secționat pe fiecare direcție în câte trei "felii" astfel încât să se obțină 27 cuburi mai mici, dintre care numai 26 sunt vizibile. Fiecare față este colorată altfel decât celelalte și se poate roti în jurul axului ei central. Rotind de câteva ori la întâmplare feliile cubului, culorile "difuzează" rapid, pierzându-se într-un mozaic aparent incontrolabil în care numai cuburile din centrul fețelor mai amintesc de culoarea inițială.
Revenirea la ordinea inițială pare o speranță irealizabilă: există peste 43 miliarde de miliarde de configurații. Epidemia a fost pregatită în 1975când un tânăr arhitect maghiar, Erno Rubik, a brevetat o jucărioară multicoloră, menită să-i folosească drept material didactic pentru întărirea intuiției spațiale a studenților săi. În 1978, un amic a lui Rubik ia cubul cu el la Congresul de matematică de la Helsinki și astfel cubul ajunge pe mâna matematicienilor. Cubul a trecut din mână în mână, s-a făcut legătura cu teoria grupurilor (de permutări).
Virusul s-a răspândit cu repeziciune în Franța și Marea Britanie, a trecut apoi oceanul spre America și Japonia, a intrat în atenția unor coloși ai industriei și comerțului cu jucării astfel încât în 1980, grupul Ideal-Toy comanda Ungariei 6 milioane de cuburi.
Printre aceste jocuri matematice si logice se numara si binecunoscutul Cubul Rubik. Este, poate, cel mai faimos puzzle. Un cub de plastic de câțiva centimetri, secționat pe fiecare direcție în câte trei "felii" astfel încât să se obțină 27 cuburi mai mici, dintre care numai 26 sunt vizibile. Fiecare față este colorată altfel decât celelalte și se poate roti în jurul axului ei central. Rotind de câteva ori la întâmplare feliile cubului, culorile "difuzează" rapid, pierzându-se într-un mozaic aparent incontrolabil în care numai cuburile din centrul fețelor mai amintesc de culoarea inițială.
Revenirea la ordinea inițială pare o speranță irealizabilă: există peste 43 miliarde de miliarde de configurații. Epidemia a fost pregatită în 1975când un tânăr arhitect maghiar, Erno Rubik, a brevetat o jucărioară multicoloră, menită să-i folosească drept material didactic pentru întărirea intuiției spațiale a studenților săi. În 1978, un amic a lui Rubik ia cubul cu el la Congresul de matematică de la Helsinki și astfel cubul ajunge pe mâna matematicienilor. Cubul a trecut din mână în mână, s-a făcut legătura cu teoria grupurilor (de permutări).
Virusul s-a răspândit cu repeziciune în Franța și Marea Britanie, a trecut apoi oceanul spre America și Japonia, a intrat în atenția unor coloși ai industriei și comerțului cu jucării astfel încât în 1980, grupul Ideal-Toy comanda Ungariei 6 milioane de cuburi.
Trimis de Chitu Catalin
Relaţia matematică-economie
Relaţia matematică-economie ţine de domeniul epistemologiei ambelor stiinte însă aceasta nu trebuie privită ca un antagonism, ci ca un schimb permanent de informaţii, de metode, de rezultate.
Din dorinţa de a da un sens relaţiei dintre cele două domenii, vom începe prin a surprinde opinii despre caracteristicile fundamentale ale celor două ştiinte, raţionalismul, respectiv empirismul, cu scopul de a infirma concepţia comună conform căreia fiecare dintre aceastea este o caracteristică proprie doar a uneia dintre ştiinţele în discuţie.
Necesitatea matematicii în economie poate fi argumentată prin utilitatea acesteia pentru a nu fi acuzaţi de poliloghie, deşi, conform lui Paul Samuelson (Samuelson, 1952), „Matematica este un limbaj” şi orice text matematic poate fi exprimat, cu suficiente explicaţii, în limbaj curent.
Aşadar, putem înţelege utilizarea matematicii în economie ca o dovadă de cultură şi concizie, dar nu ca un
instrument care să ofere o haină de ştiinţificitate unui discurs altfel gol.
De aceea, în momentul în care decidem să utilizăm acest limbaj special şi specializat, trebuie să ne conformăm complet regulilor acestuia, adică să stabilim exact ipotezele în care lucrăm, să ne asigurăm că noţiunile folosite sunt bine definite din punct de vedere matematic (exemplu: nu împărţim la cantităţi care pot fi nule).
Pe scurt, utilizarea matematicii în economie este similară cu folosirea de citate din limbi străine, adică trebuie să ne asigurăm că acestea sunt potrivite contextului şi că „gramatica” utilizată este cea corectă. Dezbaterea utilităţii matematicii în ştiinţa economică trebuie privită ca o chestiune de măsură, de adecvare a instrumentului la scopul în care este folosit.
Trimis de Datcu Alexandra
Elemente de logica matematica
Logica matematica este teoria stiintifica a rationamentelor matematice, sub aspectul reconstruirii formale a acestora si a explicarii structurii lor.
Diviziunile stiintei logicii matematice sunt calculul propozitiilor si calculul predicatelor.
O constructie lingvistica se numeste enunt daca foloseste descrierea sau comunicarea faptelor. De asemenea, enuntul reprezinta ansamblul de semne carora li s-a dat un sens.
Un enunt se numeste adevarat, daca afirmatia exprimata de el corespunde unui fapt (Aristotel), iar un enunt care nu este adevarat se numeste fals.
Se spune ca un enunt respecta principiul tertului exclus daca el este adevarat sau fals; de asemenea, un enunt respecta principiul non-contradictiei daca nu este simultan adevarat sau fals.
Propozitia logica reprezinta un enunt despre care se stie ca este sau adevarat sau fals, insa nu si una si alta simultan. Astfel, propozitia logica respecta ambele principii: principiul tertului exclus si principiul non-contradictiei.
Logica presupune ca o propozitie exprima relatii obiective intre obiectele sau fenomenele naturii, gandirii si societatii. Prin urmare, logica se intereseaza de propozitiile cu sens, adica de acele propozitii in care se afirma (sau se neaga) ca anumite obiecte ale realitatii sunt (sau nu sunt) intr-un anumit fel, au (sau nu au) anumite relatii intre ele.
De aici se ajunge inevitabil la impartirea propozitiilor studiate in logica matematica in propozitii adevarate si propozitii false.
O propozitie p este adevarata daca in ea se exprima ca anumite obiecte se comporta intr-un anumit fel, iar obiectele respective se comporta intr-adevar asa.
O propozitie p este falsa daca in ’p’ se exprima ca anumite obiecte sau fenomene se comporta intr-un anumit fel, iar obiectele nu se comporta de fapt, astfel.
O propozitie este sau adevarata sau falsa, neputand fii adevarata si falsa in acelasi timp.
Exista in matematica, in alte stiinte si in viata curenta, enunturi despre care nu putem afirma cu certitudine ca sunt fie adevarate, fie false. Exista alte enunturi despre care nu putem afirma nici ca sunt adevarate, nici ca sunt false, decizia asupra adevarului sau falsitatii lor fiind conditionata de anumite date de referinta. Aceasta delimitare ne indreptateste sa definim una dintre aceste categorii, pentru a o distinge de cealalta.
NOTATII:
Propozitiile se noteaza cu litere mici ( p, q, r, s, t... sau p1, p2...) urmate, eventual, de enunt, care este scris intre ghilimele, atunci cand se doreste ca acesta sa fie precizat.
De exemplu:
1) p: ‚1 + 1 = 2’
2) q: ‚7 ≤ 2’
3) r: ‚In orice triunghi lungimea unei laturi este mai mica decat suma lungimilor celorlalte doua.’
Toate aceste enunturi sunt propozitii deoarece despre fiecare se poate spune daca este adevarata sau falsa. De exemplul 1) si 3) sunt propozitii adevarate, iar 2) este propozitie falsa.
O clasa extrem de larga de propozitii adevarate o constituie teoremele din matematica.
Din definitie, clasa tuturor propozitiilor se descompune in doua clase disjuncte, numite valori de adevar. Astfel, daca o propozitie este adevarata, spunem ca ea are valoarea de adevar adevarul si se noteaza, in acest caz, prin semnul 1 sau A. Cand propozitia este falsa, spunem ca ea are valoarea de adevar falsul si se noteaza prin semnul 0 sau F. In ambele cazuri, 0 si 1 sunt simboluri fara inteles numeric.
p q r
A / 1 F / 0 A / 1
De cele mai multe ori, valorile de adevar sunt inregistrate intr-un asa-zis tabel de adevar. De exemplu, pentru propozitiile p, q, r considerate mai sus avem tabelul de adevar:
De asemenea, valoarea de adevar a unei propozitii se noteaza v(p). Tabelul precedent exprima faptul ca:
1 daca propozitia este adevarata
v(p) =
0 daca propozitia este falsa
In matematica se intalnesc si enunturi a caror valoare de adevar este necunoscuta. Acestea se numesc conjecturi.
De exemplu: enuntul ‚Orice numar par mai mare sau egal cu 6 este suma a doua numere prime impare’ este conjectura lui Goldbach, care dateaza din 1742. Pana in prezent, nu s-a reusit nici demonstrarea si nici infirmarea sa.
Definitiile si toate conceptele matematice se bazeaza pe teoria multimilor. Mai mult, metodele rationamentului matematic sunt o combinatie de argumente ale logicii matematice si teoriei multimilor.
O multime este rezultatul cuprinderii intr-un singur tot a unor obiecte determinate ale perceperii sau gandirii noastre. Aceste obiecte se numesc elemente ale multimii (Cantor).
Multimile se noteaza cu litere mari, iar elementele lor cu litere mici. Daca obiectul a este un element al multimii M, se scrie a M (se citeste ‚a apartine M’ sau ‚M contine pe a’). Se scrie a M daca a nu este un element al lui M.
Predicatul (sau propozitia cu variabile) este un enunt p ( x1, x2, ... xn) ce depinde de variabilele x1, x2, ... xn (n N* ), care are proprietatea ca pentru orice valori date variabilelor din multimile A1, A2, ... An el devine o propozitie logica.
Deci un predicat este bine precizat de enuntul sau si de multimile in care variabilele iau valori (aceste multimi formeaza ceea ce se numeste domeniul de definitie al predicatului). Predicatele sunt unare, binare, ternare, ... dupa cum depind, respectiv de una, doua, trei, ... variabile.
De exemplu: p(x): ‚x + 2 = 4’ , x Z; predicatul p(x) este adevarat pentru x = 2, dar este fals pentru x = 1.
Ecuatiile, inecuatiile, identitatile sunt predicate. Teoremele matematice sunt bazate pe predicate.
Trimis de Florescu Alexandru
Diviziunile stiintei logicii matematice sunt calculul propozitiilor si calculul predicatelor.
O constructie lingvistica se numeste enunt daca foloseste descrierea sau comunicarea faptelor. De asemenea, enuntul reprezinta ansamblul de semne carora li s-a dat un sens.
Un enunt se numeste adevarat, daca afirmatia exprimata de el corespunde unui fapt (Aristotel), iar un enunt care nu este adevarat se numeste fals.
Se spune ca un enunt respecta principiul tertului exclus daca el este adevarat sau fals; de asemenea, un enunt respecta principiul non-contradictiei daca nu este simultan adevarat sau fals.
Propozitia logica reprezinta un enunt despre care se stie ca este sau adevarat sau fals, insa nu si una si alta simultan. Astfel, propozitia logica respecta ambele principii: principiul tertului exclus si principiul non-contradictiei.
Logica presupune ca o propozitie exprima relatii obiective intre obiectele sau fenomenele naturii, gandirii si societatii. Prin urmare, logica se intereseaza de propozitiile cu sens, adica de acele propozitii in care se afirma (sau se neaga) ca anumite obiecte ale realitatii sunt (sau nu sunt) intr-un anumit fel, au (sau nu au) anumite relatii intre ele.
De aici se ajunge inevitabil la impartirea propozitiilor studiate in logica matematica in propozitii adevarate si propozitii false.
O propozitie p este adevarata daca in ea se exprima ca anumite obiecte se comporta intr-un anumit fel, iar obiectele respective se comporta intr-adevar asa.
O propozitie p este falsa daca in ’p’ se exprima ca anumite obiecte sau fenomene se comporta intr-un anumit fel, iar obiectele nu se comporta de fapt, astfel.
O propozitie este sau adevarata sau falsa, neputand fii adevarata si falsa in acelasi timp.
Exista in matematica, in alte stiinte si in viata curenta, enunturi despre care nu putem afirma cu certitudine ca sunt fie adevarate, fie false. Exista alte enunturi despre care nu putem afirma nici ca sunt adevarate, nici ca sunt false, decizia asupra adevarului sau falsitatii lor fiind conditionata de anumite date de referinta. Aceasta delimitare ne indreptateste sa definim una dintre aceste categorii, pentru a o distinge de cealalta.
NOTATII:
Propozitiile se noteaza cu litere mici ( p, q, r, s, t... sau p1, p2...) urmate, eventual, de enunt, care este scris intre ghilimele, atunci cand se doreste ca acesta sa fie precizat.
De exemplu:
1) p: ‚1 + 1 = 2’
2) q: ‚7 ≤ 2’
3) r: ‚In orice triunghi lungimea unei laturi este mai mica decat suma lungimilor celorlalte doua.’
Toate aceste enunturi sunt propozitii deoarece despre fiecare se poate spune daca este adevarata sau falsa. De exemplul 1) si 3) sunt propozitii adevarate, iar 2) este propozitie falsa.
O clasa extrem de larga de propozitii adevarate o constituie teoremele din matematica.
Din definitie, clasa tuturor propozitiilor se descompune in doua clase disjuncte, numite valori de adevar. Astfel, daca o propozitie este adevarata, spunem ca ea are valoarea de adevar adevarul si se noteaza, in acest caz, prin semnul 1 sau A. Cand propozitia este falsa, spunem ca ea are valoarea de adevar falsul si se noteaza prin semnul 0 sau F. In ambele cazuri, 0 si 1 sunt simboluri fara inteles numeric.
p q r
A / 1 F / 0 A / 1
De cele mai multe ori, valorile de adevar sunt inregistrate intr-un asa-zis tabel de adevar. De exemplu, pentru propozitiile p, q, r considerate mai sus avem tabelul de adevar:
De asemenea, valoarea de adevar a unei propozitii se noteaza v(p). Tabelul precedent exprima faptul ca:
1 daca propozitia este adevarata
v(p) =
0 daca propozitia este falsa
In matematica se intalnesc si enunturi a caror valoare de adevar este necunoscuta. Acestea se numesc conjecturi.
De exemplu: enuntul ‚Orice numar par mai mare sau egal cu 6 este suma a doua numere prime impare’ este conjectura lui Goldbach, care dateaza din 1742. Pana in prezent, nu s-a reusit nici demonstrarea si nici infirmarea sa.
Definitiile si toate conceptele matematice se bazeaza pe teoria multimilor. Mai mult, metodele rationamentului matematic sunt o combinatie de argumente ale logicii matematice si teoriei multimilor.
O multime este rezultatul cuprinderii intr-un singur tot a unor obiecte determinate ale perceperii sau gandirii noastre. Aceste obiecte se numesc elemente ale multimii (Cantor).
Multimile se noteaza cu litere mari, iar elementele lor cu litere mici. Daca obiectul a este un element al multimii M, se scrie a M (se citeste ‚a apartine M’ sau ‚M contine pe a’). Se scrie a M daca a nu este un element al lui M.
Predicatul (sau propozitia cu variabile) este un enunt p ( x1, x2, ... xn) ce depinde de variabilele x1, x2, ... xn (n N* ), care are proprietatea ca pentru orice valori date variabilelor din multimile A1, A2, ... An el devine o propozitie logica.
Deci un predicat este bine precizat de enuntul sau si de multimile in care variabilele iau valori (aceste multimi formeaza ceea ce se numeste domeniul de definitie al predicatului). Predicatele sunt unare, binare, ternare, ... dupa cum depind, respectiv de una, doua, trei, ... variabile.
De exemplu: p(x): ‚x + 2 = 4’ , x Z; predicatul p(x) este adevarat pentru x = 2, dar este fals pentru x = 1.
Ecuatiile, inecuatiile, identitatile sunt predicate. Teoremele matematice sunt bazate pe predicate.
Trimis de Florescu Alexandru
Sahul si matematica - legatura dintre stiinta si joc
S-a spus de multe ori ca sahul este matematica.elementul cel mai izbitor in aceastaanalogie il constituie caracterul deductiv si conditionarea riguroasa a fiecarei etape de etapele anterioare.
De aici, ideea de calcul subjacenta atat sahului cat si matematicii. Inspijinul acestei analogii pledeaza si pasiunea pentru sah a multor matematicieni. Unii dintre ei au la activul lor performante in ambele domenii.
Dupa primul campion mondial la sah, Steinitz, a urmat un important algebrist, Emanuel Lasker care a devenit binecunoscut atat ca sahist, fiind intr-o anumita perioada campion mondial, cat si ca matematician.Totusi afinitatea dintre sah si matematica fost de mai multe ori contestata.
Este mai intai interesant faptul ca o serie de matematicieni au contestat ideea ca matematica ar fi in primul rand deductie.
Cel mai recent exemplu in aceasta privinta il constituie Paul R.Halmos in cartea sa I want to be a mathematician,Springer New York . Am avut totdeauna impresia ca logica deductiva este numai fatada si igiena matematicii, nu si substanta ei. Nu cumva un fenomen asemanator se intampla si cu sahul. Am discutataceasta chestiune intr-un ciclu de articole si din marturiile evocate a rezultat ca raspunsul este probabil afirmativ.
Am aratat acolo ca Nell Charness, care in 1974 sustinuse o tezade doctorat privind psihologia jocului de sah, a ajuns la concluzia ca un jucator de sah se bazeaza nu atat pe analize deductive, cat pe capacitatea sa de memorie si pe organizareainformatiei in termeni de configuratii plauzibile de piese, miscari posibile si consecinteale lor. Recunoasterea configuratiilor face parte din preocuparile unui domeniu in plinadezvoltare, „Recunoasterea formelor”.
De asemenea, dupa cum arata Peter W.Frey(Chess skill in man and machine), alegerea unei mutari pare sa fie conditionata in primul rand de calitatea perceptiei si,in mod special,de capacitatea de a recunoaste unimens numar de procedee de joc disponibile,deci acumulate si catalogate de experintasahista anterioara.Sahul s-a dovedit a fi nu atat un joc implicand un calcul foarte lung catunul de observatie,de intuitie a situatiei de pe tabla de joc.
Unui maestru ii este suficienta o privire sumara pentru a sesiza o mutare buna, in timp ce un incepator este in stareca,chiar dupa o lunga reflectie,sa faca o mutare dezavantajoasa. Ceea ce-i deosebeste nueste neaparat profunzimea gandirii. Arborele de posibilitati care mereu se ramifica infunctie de raspunsul ipotetic al partenerului este de obicei examinat pana la un nivel careeste cam acelasi si la un simplu amator si la un specialist.
Acest nivel pare a fi determinatnu de gradul de pregatire sahista ,ci de restrictiile generale care guverneazaatentia,memoria si ratiunea. Insa in timp ce profanul analizeaza acveste posibilitati lainamplare,cunoscatorul le ierarhizeaza aproape spontan,dand prioritate anumitor variante.
Trimis de Buica Cristian
Matematica - limbaj bazat pe simboluri abstracte
Matematica este un limbaj bazat pe un sistem de simboluri abstracte util pentru a analiza şi descrie aspecte cantitative ale realităţii care ne înconjoară prin teoreme şi axiome. Cu ajutorul matematicii se pot realiza o analize complexe ale seriilor de date şi se pot extrage inferenţe logice din astfel de date. Matematica este folosită în zilele noastre de toate ştiinţele într-o măsură mai mică sau mai mare. Domenii şi instrumente specifice au fost derivate pe baza matematicii: statistica, econometria, programarea cu ajutorul calculatorului, calculul actuarial etc.
Utilizarea matematicii în economie s-a făcut în câteva etape distincte (cu precădere în ultimii 150 de ani):
Matematica este bună pentru ştiinţa economică în măsura în care permite calcularea / măsurarea / cuantificarea unor aspecte legate de derularea afacerilor (în contabilitate de exemplu putem folosi matematica pentru a analiza evoluţia vânzărilor, dinamica stocurilor). În momentul în care dorim să facem o predicţie (a vânzărilor) folosind aparatul matematic în acelaşi mod în care fizicienii îl folosesc în cercetările lor începem să avem probleme.
Economia îşi pierde astfel din esenţă şi din consistenţă şi nu mai poate oferi soluţii la ceva ce este echilibrat de la centru printr-o decizie politică dedusă pe bază de agregate macroeconomice (imperfecte). Cercetările economiştilor care refuză să intre în acest joc macabru al obsesiei pentru analiza cantitativă sunt izolate, tratate pe nedrept şi cu sfidare ca fiind neserioase şi lipsite de substanţă şi consistenţă (culmea) economică. Consecinţele (culmea) economice sunt uşor de văzut cu ochiul
Sursa: Mică enciclopedie matematică | Trimis de Bunica Daciana
Matematica - disciplina independenta fundamentala
Matematica, în interdependenţă cu alte discipline - fizica, chimia, tehnologia, informatica, economia, biologia, medicina, ştiinţele umane -, ocupă astăzi o poziţie importantă în lumea ştiinţifică şi în economia modernă. Matematica are un rol esenţial în dezvoltarea instrumentelor de modelare folosite de aproape toate disciplinele şi este omniprezentă în societatea contemporană hipertehnologizată.
Oamenilor care practică cele mai variate meserii le sunt necesare cunoştinţe de matematică (muncitori calificaţi, tehnicieni, angajaţi din industrie, administraţie, comerţ, ingineri).
Matematica se integrează, de asemenea, într-o vastă ţesătură care include elemente ale tuturor domeniilor culturii. „Dacă elevii ar afla, din manualele după care învaţă, despre bazele pitagoreice ale muzicii, despre rolul geometriei în descoperirea perspectivei în pictură şi despre regularităţile aritmetice care guvernează deopotrivă ritmurile naturii şi pe cele ale existenţei umane, atunci legătura nu ar mai părea singulară, ci în firea lucrurilor. Arta de calculator, rolul geometriei fractale în ştiinţă şi în artă deopotrivă, legăturile cu ştiinţa haosului nu ar mai părea bizarerii la modă, ci fenomene care se aşază în mod firesc într-o istorie milenară." (Solomon Marcus)
Matematica dezvoltă creativitatea şi spiritul critic. Modelul matematic de gândire este un exemplu pentru orice altă disciplină. A lucra în spiritul logicii matematice înseamnă a lucra în etape riguros ordonate, folosind în fiecare nouă etapă noţiunile şi cunoştinţele dobândite în etapele anterioare.
Astăzi, aproape orice abordare ştiinţifică interdisciplinară implică utilizarea cunoştinţelor de matematică. De exemplu, economia nu ar putea funcţiona fără analizele matematice; în medicină, evoluţia unei epidemii se determină matematic; în agricultură, se utilizează analiza statistică a solului în care se ţine cont de culturi anterioare; în biologie, se pot clasifica plantele după criterii bazate pe regresie statistică; în pictură sau fotografie, pentru a crea lucrări interesante, se poate folosi geometria. O pictură se poate analiza, din punct de vedere matematic, din perspectiva geometriei formelor. O trăsătură comună în majoritatea portretelor celebre este proporţia de aur. De asemenea, există plante care au aranjamentul frunzelor dispus într-o secvenţă Fibonacci în jurul tulpinii, pentru a avea o expunere optimă la soare.
Un alt aspect al interacţiunii matematicii cu celelalte discipline este influenţa pe care acestea au exercitat-o şi o exercită asupra matematicii. Matematica a apărut şi s-a dezvoltat în contextul celorlalte ştiinţe, beneficiind de achiziţiile lor.
În cazul matematicii moderne, teoria probabilităţilor nu ar fi căpătat o importanţă şi o dezvoltare atât de mare, dacă nu ar fi fost permanent alimentată de fizică, biologie, economie, lingvistică şi de toate ştiinţele socio-umaniste, din care nu lipseşte factorul aleatoriu. Teoria lanţurilor Markov a apărut ca urmare a studiului alternanţei consoanelor cu vocalele în Evgheni Oneghin al lui Puşkin. Teoria jocurilor a fost iniţiată în anii '40 de John von Neumann şi Oskar Morgenstern, în încercarea de a rezolva problemele de tactică şi strategie de război. Teoria limbajelor formale este o ramură a matematicii stimulată de lingvistică, biologia celulară şi cea moleculară. Aceste exemple arată că, de fapt, matematica are şi o funcţie unificatoare în sistemul ştiinţelor, contribuind la stabilirea unui limbaj comun, la realizarea în viitor a unei „ştiinţe universale".
În concluzie, aşa cum spunea profesorul Solomon Marcus: „Universalitatea matematicii este complet echilibrată de aservirea ei faţă de celelalte discipline. Este greu de răspuns dacă matematica restituie surorilor ei mai mult decât acestea i-au împrumutat. Dar nici nu este important acest lucru; ceea ce este important este faptul că matematica pune la dispoziţia celorlalte discipline un produs prelucrat, esenţial diferit de cel pe care l-a împrumutat de la acestea".
Trimis de Contu Ana - Maria
Oamenilor care practică cele mai variate meserii le sunt necesare cunoştinţe de matematică (muncitori calificaţi, tehnicieni, angajaţi din industrie, administraţie, comerţ, ingineri).
Matematica se integrează, de asemenea, într-o vastă ţesătură care include elemente ale tuturor domeniilor culturii. „Dacă elevii ar afla, din manualele după care învaţă, despre bazele pitagoreice ale muzicii, despre rolul geometriei în descoperirea perspectivei în pictură şi despre regularităţile aritmetice care guvernează deopotrivă ritmurile naturii şi pe cele ale existenţei umane, atunci legătura nu ar mai părea singulară, ci în firea lucrurilor. Arta de calculator, rolul geometriei fractale în ştiinţă şi în artă deopotrivă, legăturile cu ştiinţa haosului nu ar mai părea bizarerii la modă, ci fenomene care se aşază în mod firesc într-o istorie milenară." (Solomon Marcus)
Matematica dezvoltă creativitatea şi spiritul critic. Modelul matematic de gândire este un exemplu pentru orice altă disciplină. A lucra în spiritul logicii matematice înseamnă a lucra în etape riguros ordonate, folosind în fiecare nouă etapă noţiunile şi cunoştinţele dobândite în etapele anterioare.
Astăzi, aproape orice abordare ştiinţifică interdisciplinară implică utilizarea cunoştinţelor de matematică. De exemplu, economia nu ar putea funcţiona fără analizele matematice; în medicină, evoluţia unei epidemii se determină matematic; în agricultură, se utilizează analiza statistică a solului în care se ţine cont de culturi anterioare; în biologie, se pot clasifica plantele după criterii bazate pe regresie statistică; în pictură sau fotografie, pentru a crea lucrări interesante, se poate folosi geometria. O pictură se poate analiza, din punct de vedere matematic, din perspectiva geometriei formelor. O trăsătură comună în majoritatea portretelor celebre este proporţia de aur. De asemenea, există plante care au aranjamentul frunzelor dispus într-o secvenţă Fibonacci în jurul tulpinii, pentru a avea o expunere optimă la soare.
Un alt aspect al interacţiunii matematicii cu celelalte discipline este influenţa pe care acestea au exercitat-o şi o exercită asupra matematicii. Matematica a apărut şi s-a dezvoltat în contextul celorlalte ştiinţe, beneficiind de achiziţiile lor.
În cazul matematicii moderne, teoria probabilităţilor nu ar fi căpătat o importanţă şi o dezvoltare atât de mare, dacă nu ar fi fost permanent alimentată de fizică, biologie, economie, lingvistică şi de toate ştiinţele socio-umaniste, din care nu lipseşte factorul aleatoriu. Teoria lanţurilor Markov a apărut ca urmare a studiului alternanţei consoanelor cu vocalele în Evgheni Oneghin al lui Puşkin. Teoria jocurilor a fost iniţiată în anii '40 de John von Neumann şi Oskar Morgenstern, în încercarea de a rezolva problemele de tactică şi strategie de război. Teoria limbajelor formale este o ramură a matematicii stimulată de lingvistică, biologia celulară şi cea moleculară. Aceste exemple arată că, de fapt, matematica are şi o funcţie unificatoare în sistemul ştiinţelor, contribuind la stabilirea unui limbaj comun, la realizarea în viitor a unei „ştiinţe universale".
În concluzie, aşa cum spunea profesorul Solomon Marcus: „Universalitatea matematicii este complet echilibrată de aservirea ei faţă de celelalte discipline. Este greu de răspuns dacă matematica restituie surorilor ei mai mult decât acestea i-au împrumutat. Dar nici nu este important acest lucru; ceea ce este important este faptul că matematica pune la dispoziţia celorlalte discipline un produs prelucrat, esenţial diferit de cel pe care l-a împrumutat de la acestea".
Trimis de Contu Ana - Maria
Care este legatura matematicii cu logica si economia?
Se obisnuieste sa se faca diverse comparatii si corelari între stiinte, discipline, mai ales când acestea pot intersecta sau sunt “vecine” – domenial, metodologic, sub aspectul limbajului,etc. Pe acest fond se realizeaza diviziuni, clasificari, sistematizari, etc. În acelasi context al “vecinatatii” semantice, informationale se pot determina si eventual “calcula” distante s.a.m.d.
Constienti sau nu, e multa matematica in jurul nostru.
Forme, echilibru, rezistente, ca sa nu mai zic ca aproape totul ” e pe plus ” sau ” e pe minus “.
De fapt chiar si ” zero “ are o valoare.
Cu toate acestea insa, locul si rolul matematicii in viata individuala si in societate ( in opinia mea ) inca se defineste.
In viata avem tot felul de probleme, multe le au si o aplicatie matematica, nu toate, dar sigur mai multe decat v-ati putea imagina la o prima intrevedere.
Apoi invatam matematica la scoala, lucru care nu ne ajuta in rezolvarea problemelor din lumea reala, decat intr-o masura destul de mica, prea mica, incredibil de mica. Totusi deschide un capitol pe care in ziua de azi nu-l intalnim in lumea reala si anume – calculul. Asa se ajunge ca in scoala din totalul timpului care se acorda pentru matematica si logica un 80% sanatos sa fie dedicat calcului. Peste asta chiar accentul se pune pe calcul, pe verificari, pe modalitatea de calcul, sau chiar pe rezultatul final.
Practic nu ne intereseaza cum a ajuns Ana sa aiba mere, ci ne intereseaza cate tine in fiecare mana si cate are acum in total.
Credeti ca in economia de azi computerul, telefonul, playerul, ba chiar ceasul de mana au vreo problema in a calcula suma merelor? sau derivate si integrale, intersectii de multimi si vectori? Sunt sigur ca nu.
Dar despre cum a facut Ana rost de mere e mult mai greu de spus ceva, acolo intervine cunoasterea realitatii, aplicarea logicii, intelegerea probabilitatilor etc. si vad aici mai mult de munca din partea logicii. Aici vine intrebarea interioara din copilarie care ma macina prin scoala generala, cum se face ca invat mai multa logica din ce citeam pentru literatura, decat din studiul la matematica.
Matematica este bună pentru ştiinţa economică în măsura în care permite calcularea / măsurarea / cuantificarea unor aspecte legate de derularea afacerilor (în contabilitate de exemplu putem folosi matematica pentru a analiza evoluţia vânzărilor, dinamica stocurilor). În momentul în care dorim să facem o predicţie (a vânzărilor) folosind aparatul matematic în acelaşi mod în care fizicienii îl folosesc în cercetările lor începem să avem probleme. Probleme şi mai mari apar atunci când predicţiile se fac nu pe vânzări la nivelul unei companii ci pe vânzările agregate ale întregii economii (aceste probleme apar atât din maniera de agregare a datelor cât şi din relevanţa rezultatelor).
In concluzie exista o legatura intre matematica si mai toate stiintele,dar impreuna cu logica si economia cu care formeaza o legatura mai stransa care depind una de alta si formeaza impreuna triunghiul matematica,economie,logica.
Constienti sau nu, e multa matematica in jurul nostru.
Forme, echilibru, rezistente, ca sa nu mai zic ca aproape totul ” e pe plus ” sau ” e pe minus “.
De fapt chiar si ” zero “ are o valoare.
Cu toate acestea insa, locul si rolul matematicii in viata individuala si in societate ( in opinia mea ) inca se defineste.
In viata avem tot felul de probleme, multe le au si o aplicatie matematica, nu toate, dar sigur mai multe decat v-ati putea imagina la o prima intrevedere.
Apoi invatam matematica la scoala, lucru care nu ne ajuta in rezolvarea problemelor din lumea reala, decat intr-o masura destul de mica, prea mica, incredibil de mica. Totusi deschide un capitol pe care in ziua de azi nu-l intalnim in lumea reala si anume – calculul. Asa se ajunge ca in scoala din totalul timpului care se acorda pentru matematica si logica un 80% sanatos sa fie dedicat calcului. Peste asta chiar accentul se pune pe calcul, pe verificari, pe modalitatea de calcul, sau chiar pe rezultatul final.
Practic nu ne intereseaza cum a ajuns Ana sa aiba mere, ci ne intereseaza cate tine in fiecare mana si cate are acum in total.
Credeti ca in economia de azi computerul, telefonul, playerul, ba chiar ceasul de mana au vreo problema in a calcula suma merelor? sau derivate si integrale, intersectii de multimi si vectori? Sunt sigur ca nu.
Dar despre cum a facut Ana rost de mere e mult mai greu de spus ceva, acolo intervine cunoasterea realitatii, aplicarea logicii, intelegerea probabilitatilor etc. si vad aici mai mult de munca din partea logicii. Aici vine intrebarea interioara din copilarie care ma macina prin scoala generala, cum se face ca invat mai multa logica din ce citeam pentru literatura, decat din studiul la matematica.
Matematica este bună pentru ştiinţa economică în măsura în care permite calcularea / măsurarea / cuantificarea unor aspecte legate de derularea afacerilor (în contabilitate de exemplu putem folosi matematica pentru a analiza evoluţia vânzărilor, dinamica stocurilor). În momentul în care dorim să facem o predicţie (a vânzărilor) folosind aparatul matematic în acelaşi mod în care fizicienii îl folosesc în cercetările lor începem să avem probleme. Probleme şi mai mari apar atunci când predicţiile se fac nu pe vânzări la nivelul unei companii ci pe vânzările agregate ale întregii economii (aceste probleme apar atât din maniera de agregare a datelor cât şi din relevanţa rezultatelor).
In concluzie exista o legatura intre matematica si mai toate stiintele,dar impreuna cu logica si economia cu care formeaza o legatura mai stransa care depind una de alta si formeaza impreuna triunghiul matematica,economie,logica.
Trimis de Cristache Cristian
Triunghiul - elemente si clasificare in matematica
Se dau trei puncte distincte necoliniare, figura geometrică dată de reuniunea segmentelor închise determinate de ele se numește triunghi și este una dintre formele poligonale fundamentale ale geometriei.
Elementele triunghiului
• punctele A,B,C se numesc vârfurile triunghiului.
• [AB];[BC];[AC] se numesc laturile triunghiului.
• se numesc unghiurile(interne) triunghiului.
Clasificarea triunghiurilor
- în funcție de lungimile laturilor
Un triunghi cu toate laturile congruente se numește triunghi echilateral;. Un triunghi cu două laturi congruente se numește triunghi isoscel Un triunghi care are laturile de lungimi diferite se numește triunghi scalen (sau oarecare).
Triunghi echilateral
Triunghi isoscel
Triunghi scalen (oarecare)
- după felul unghiurilor
Triunghiurile cu toate unghiurile ascuțite sunt triunghiuri ascuțitunghice. Dacă, însă, unul din unghiuri este drept, triunghiul este denumit dreptunghic. Triunghiul cu un unghi drept se numește triunghi dreptunghic
•Triunghi dreptunghic.
•Triunghi obtuzunghic.
•Triunghi ascutitunghic.
Sursa: Clopotel.ro | Trimis de Calea Simona Gabriela
Elementele triunghiului
• punctele A,B,C se numesc vârfurile triunghiului.
• [AB];[BC];[AC] se numesc laturile triunghiului.
• se numesc unghiurile(interne) triunghiului.
Clasificarea triunghiurilor
- în funcție de lungimile laturilor
Un triunghi cu toate laturile congruente se numește triunghi echilateral;. Un triunghi cu două laturi congruente se numește triunghi isoscel Un triunghi care are laturile de lungimi diferite se numește triunghi scalen (sau oarecare).
Triunghi echilateral
Triunghi isoscel
Triunghi scalen (oarecare)
- după felul unghiurilor
Triunghiurile cu toate unghiurile ascuțite sunt triunghiuri ascuțitunghice. Dacă, însă, unul din unghiuri este drept, triunghiul este denumit dreptunghic. Triunghiul cu un unghi drept se numește triunghi dreptunghic
•Triunghi dreptunghic.
•Triunghi obtuzunghic.
•Triunghi ascutitunghic.
Sursa: Clopotel.ro | Trimis de Calea Simona Gabriela
Triunghiul lui Pascal - gandire logica
Triunghiul lui Pascal este o formă geometrică în alcătuirea caruia se folosesc coeficienţi binominali. Triunghiul poartă numele celebrului matematician francez BlaisePascal (19 iunie 1623 – 19 august 1662) deoarece el a fost prima persoană care a descoperit importanţa tuturor modelelor din componenţa acestuia.
Acest triunghi a fost prima oară descoperit de matematicianul chinez Jia Xian undeva prin secolul al XI-lea! În China modernă tringhiul poartă numele lui Yang Hui pentru că acesta a explicat în detaliu metoda lui Jia Xian din cartea originală în care acesta a fost publicat „Shi suo suan shu”, carte ce a fost pierdută de-a lungul timpului.
Rândul 7: 1 7 21 35 35 21 7 1. Numerele 21 şi 35 sunt divizibile cu 7.
Acest triunghi a fost prima oară descoperit de matematicianul chinez Jia Xian undeva prin secolul al XI-lea! În China modernă tringhiul poartă numele lui Yang Hui pentru că acesta a explicat în detaliu metoda lui Jia Xian din cartea originală în care acesta a fost publicat „Shi suo suan shu”, carte ce a fost pierdută de-a lungul timpului.
Fiecare număr din componenţa acestui triunghi este de fapt, suma celor două numere de deasupra acestuia. Triunghiul începe cu numărul 1, acesta reprezentând prin convenţie rândul zero al triunghiului. Rândul 1 al triunghiului este obţinut prin adunarea numărului 0 din stânga şi din dreapta de deasupra acestuia. Toate numerele din afara triunghiului sunt întotdeauna zero, prin urmare rândul 2 va fi 0 + 1 = 1, 1 + 1 = 2 şi 1 + 0 = 1. Aveţi alături un gif animat preluat de pe wikipedia ce explică această modalitate de formare a triunghiului. În cele ce urmează vom vorbi câte puţin despre modelele pe care le formează acest triunghi.
Suma rândurilor
Suma numerelor ce formează fiecare rănd al triunghiului va fi egal cu dublul sumei rândului precedent, reprezentând astfel puterile lui 2. Adică:
1 = 2 la puterea 0
1 + 1 = 2 = 2¹
1 + 2 + 1 = 4 = 2²
1 + 3 + 3 + 1 = 8 = 2³
1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 = 2 la puterea 4
Puterile lui 11
Dacă considerăm fiecare rând a fi un singur număr, atunci acesta va reprezenta puterile lui 11. De la rândul al cincilea încolo, unde vom avea numere formate din mai multe cifre, vom aduna numărul de pe poziţia precedentă cu prima cifră a numărului şi tot aşa pănă cănd acestea se termină. Exemplu:
1 = 11 la puterea 0
11 = 11 la puterea 1
121 = 11 la puterea 2
1331 = 11 la puterea 3
14641 = 11 la puterea 4
1 5 10 10 5 1 = 1(5+1)(0+1)051 = 161051 = 11 la puterea 5
1 6 15 20 15 6 1 = 1(6+1)(5+2)(0+1)561= 1771561 = 11 la puterea 6
Numere prime
Dacă primul element dintr-un rând este un număr prim (numărul 1 al fiecărui rând este considerat prin convenţie elementul zero), atunci toate numerele ce compun acel rând sunt divizibile cu acel număr prim. De exemplu:
Rândul 11: 1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1. Numerele 55, 165, 330 şi 462 sunt divizibile cu 11.
Simetrie
Triunghiul este simetric. Partea dreaptă este oglindirea părţii stângi.
Pătratul elementelor unui rând
Suma pătratelor tuturor numerelor ce formează un rând va fi egală cu elementul din mijloc al dublului răndului iniţial:
Rândul 3: 12 + 32 + 32 + 12 = 1 +9 + 9 + 1 = 20. Elementul din mijloc al rândului 3 x 2 = 6 este 20.
Rândul 4: 12 + 42 + 62 + 42 + 12 = 1 + 16 + 36 + 16 + 1 = 70. Elementul din mijloc al rândului 4 x 2 = 8 este 70.
Diagonale
Prima diagonală a triunghiului conţine numai numărul 1. A două diagonală este reprezentată de numerele naturale pozitive în ordine crescătoare, a treia diagonală conţine numerele triunghiulare despre care am vorbit în postarea Numere poligonale, a patra diagonală conţine numerele tetraedre care sunt date de formula n(n+1)(n+2)/3!, iar următoarea diagonală este reprezentată de numerele pentatope, ce sunt date de formula n(n+1)(n+2)(n+3)/4!.
Dacă vă uitaţi la diagonala a treia şi adunaţi elementele sale două câte două veţi obţine numerele pătratice. Adică:
1 + 0 = 1 = 1 la puterea 2
1 + 3 = 4 = 2 la puterea 2
3 + 6 = 9 = 3 la puterea 2
6 + 10 = 16 = 4 la puterea 2, etc
Seria lui Fibonacci
Seria lui Fibonacci, despre care vom vorbi într-o postare viitoare, este formată din numerele 0, 1, 1, 2, 3, 5, 813, 21, 34, 55, ... şi este dată de formula n = (n - 1) + (n - 2).
Această serie o putem regăsi în triunghiul lui Pascal dacă adunăm numerele ce formează diagonalele cu o pantă mai lină faţă de cele normale, reprezentate în figura de alături.
Numere pare şi impare
Dacă colorăm cu o culoare numerele pare şi cu altă culoare pe cele impare din triunghi, vom ajunge la un model identic cu cel al triunghiului Sierpinski.
Modelul crosei de golf sau de hochei
Începeţi cu orice „1” din dreapta sau din stânga marginilor triunghiului şi mergeţi pe diagonală oricât vreţi. Atunci cănd vă opriţi întoarceţi-vă cu 90 de grade iar acel număr va fi egal cu suma tuturor numerelor de pe diagonala cu care aţi început.
Expansiuni algebrice.
Să încercăm să dezvoltăm expresia (1 + x)2. Vom avea (1 + x)2 = (1 + x)(1 + x) = 1 + 2x + x2. Dacă ne uităm la coeficienţi fiecărui element din rezultat, vom odserva că aceştia sunt 1, 2, 1, adică rândul 2 al triunghiului. Acest model se aplică pentru fiecare (1 + x)n. Exemplu:
(1 + x)0 = 1 = Rând 0
(1 +x )1 = 1 + x = 1, 1 = Rând 1
(1 + x)2 = (1 + x)(1 + x) = 1 + 2x + x2 = 1, 2, 1 = Rând 2
(1 + x)3 = 1 + 3x + 3x2 + x3 = 1, 3, 3, 1 = Rând 3
(1 + x)4 = 14 + 4*13*x + 6*12*x2 + 4*1*x3 + x4 = 1, 4, 6, 4, 1 = Rând 4
Puncte într-un cerc
După cum putea vedea în figura de mai jos, fără prima diagonală, mai putem regăsi numerele ce compun fiecare rând din triunghiul lui Pascal după punctele înscrise într-un cerc, care formează diferite figuri geometrice.
Combinaţii de elemente
Să presupunem că vrem să cumpărăm o îngheţată, dar avem la dispoziţie 5 topinguri din care putem alege. Câte combinaţii de topinguri sunt posibile? Folosind formula nCk = n!/(n-k)!k!, vom avea:
5C0 = 5!/(5-0)!0! = 1, fără nici un toping
5C1 = 5!/(5-1)!1! = 5, combinaţii posibile selectând un singur toping din cele 5
5C2 = 5!/(5-2)!2! = 10, combinaţii posibile selectând 2 topinguri din cele 5
5C3 = 5!/(5-3)!3! = 10, combinaţii posibile selectând 3 topinguri din cele 5
5C4 = 5!/(5-4)!4! = 5, combinaţii posibile selectând 4 topinguri din cele 5
5C5 = 5!/(5-5)!5! = 1, combinaţii posibile selectând 5 topinguri din cele 5
După cum putem observa rezultatele sunt exact numerele ce formează rândul 5 al triunghiului lui Pascal!
Sursa: gandirelogica.blogspot.ro | Trimis de Calea Simona-Gabriela
Monday, June 16, 2014
Teoremele triunghiului
- Teorema asemanarii triunghiurilor - Raportul a doua segmente, masurate cu aceeiasi unitate de masura,este raportul lungimilor lor
- Teorema paralelelor echidistante - Daca dreptele paralele d1, d2,...dn(n N, n>3) determina pe o secanta segmente congruente, atunci ele determina pe or ice alta secanta segmente congruente.
- Teorema lui Thales - O parelele dusa la una dintre laturile uniu triunghi determina pe celelalete doua latur segmente proportionale
- Reciproca teoremei lui Thales - Daca o dreapta determina pe doua latuiri ale unui triunghi segmente proportionale atunci ea este paralela du o latura a treia a unui triunghi
- Teorema paralelelor neechidistante - Daca paralelele d1,d2…dn(n>3) determina pe doua secante oricare segmente proportionale
- Teorema bisectoarei - Intr-un triunghi bisectoarea unui unghi determina pe o latura opusa segmente porportionale cu celelalte doua laturi
- Triunghiuri asemenea - Raportul lungimilor oricaror doua laturi corespondente se numeste raport de asemanare a ceor doua triunghiuri
- Teorema fundamentala a asemanarii - O paralela la una dintre laturile unui triunghi formeaza cu celelalte doua laturi (sau prelungirile lor) un triunhhi asemena cu cel dat.
- Criterii de asemanare
- Cazul unu de asemanare - Doua triunghiuri sunt asemenea daca doua unghiuri respective sunt congruente.
- Cazul doi de asemanare - Doua triunghiuri sunt asemenea daca au doua laturi respective proportionale si unghiurile dintre laturile proportonale sunt congruente.
- Cazul trei de asemanare - Doua triunghiuri sunt asemenea daca au laturile respective proportiunale
- Teorema inaltimi - Intr-un triunghi dreptunghic, lungimea inaltimi corespunzatoare ioptenuzei este media geometrica a lungimilor proiectiilor catetelor pe ipotenuza.Intr-un triunghi dreptunghic, lungime inaltimi corespunzatoare ipotenuzei este egala cu catul dintre produsul lungimilor catetelor si lungime ipotenuzei
- Teorema catetei - Intr-un triunghi dreptunghic, lungimea unei catete este media geometrica a lungimi proectiei sale pe ipotenuza si a lungimi ipotenuzei
- Reciproca teoremei catetei - Daca in ABC avem: AD BC, D (BC) si AC =CD CB, atunci m(< BAC)=90.
- Teroma lui Pitagora - Int-un triunghi dreptunghic, patratul lungimi ipotenuzei este egala cu suma patratelor lungimilor catetelor
- Reciproca teoremei lu Pitagora - Daca intr_un triunghi suma patratelor lungimilor a doua laturi este egala cu patratul lungimii laturii a traia, arunci triunghiul estedreptunghic.
Sursa: Clopotel.ro | Trimis de Florea Alexandra Lavinia
Piramida este cea care cauzează fenomenul Triunghiului?
Unii cercetători ai Triunghiului au conceput de-a lungul anilor teorii potrivit căroraexistă o sursă de energie pe fundul mării în regiune, care afectează avioane, nave şi bărci.
Investigatorii pretind că, dacă legendarul Atlantis a existat cu adevărat, rămăşiţele miticelor aparate declanşatoare de energie ar putea fi încă intacte pe fundul oceanului. Un asemenea dispozitiv poate să aibă forma unei piramide, iar şablonul original a fost copiat mult mai târziu de către culturile ulterioare la nivel global.
Structuri având forma piramidelor au fost descoperite în America de Nord, Centrală şi de Sud; în Estul Europei, în tundra friguroasă din Siberia, în China centrală şi de Nord şi posibil în America.
Piramida de la Polul Sud nu a putut fi confirmată pentru că se află la o adâncime de mai mult de 1,60 km sub gheaţă, iar imaginile cu aceasta sunt controversate.
Acum ceva timp au fost descoperite nişte ruine misterioase, dovezi ale unei culturi necunoscute, pe o insulă din mijlocul Oceanului Pacific, numită Maden. Se pare că printre ruine se găseau şi rămăşiţele unei străvechi piramide.
Partizanii vechiul teritoriu al Lemuriei (cunoscut şi sub numele de MU) au susţinut că ruinele aparţineau acestuia, în timp ce alţii au speculat că ar fi putut fi un avanpost al unei colonii aparţinând Atlantisului.
Un antropolog de la Bishop Museum din Honolulu, Hawaii, care a explorat ruinele în 1924 nu a găsit nici o piramidă. Însă, omul de ştiinţă Kenneth Emory a descoperit dovezi ale unui mic trib polinezian, care s-a stabilit acolo pentru o perioadă scurtă de timp, la un moment dat în secolul al XVI-lea.
În ciuda acestei descoperiri, mai multe dezvăluiri au pornit din micuţa insulă în anii care au urmat.
Sursa: Financiarul.ro | Trimis de: Canea Cosmin-Marian
Subscribe to:
Posts (Atom)