Wednesday, June 18, 2014
Logica matematica - aspecte teoretice
Notiunea de propozitie. Se numeste propozitie un enunt despre care stim ca este advarat sau fals, însa nu si una alta simultan.
Exemple. Consideram enunturile:
1)În orice triunghi suma unghiurilor sale este egala cu 180º ;
2) ,,3+2=5'';
3)''2>5''
4) Balena este un mamifer'' ;
5) Planeta Venus este satelit al Pamântului''.
Toate aceste enunturi sunt propozitii, deoarece despre fiecare putem sa stim daca este adevarata sau falsa.
De exemplu 1),2) si 4) sunt propozitii adevarate 10310u202k , iar 3) si 5) sunt propozitii false.
Observatie. O clasa foarte larga de propozitii adevarate 10310u202k o constituie teoremele din matmatica.
Sa consideram enunturile 1),,x+2=5'' ; 2)''x-1<4'' 3)''Deschide usa!'' ; 4)''Numarul x divide numarul y'' ; 5)''Atomul de aur este galben'.
Se observa ca 1), 2), 3), 4) si 5) sunt enunturi pentru care conditia de mai sus(de afi adevarat sau fals) nu este îndeplinita. Mai exact enunturile 1), 2) si 4) au caracter variabil, enuntul 3) este o porunca despre care este lipsit de sens sa afirmam ca este adevarata sau falsa, enuntul 5) este absurd, deoarece e lipsit de sens sa vorbim despre culoarea unui atom.
Valoare de adevar. Daca o propozitie este adevarata, spunem ca ea are valoarea de adevar ,adevarul' si vom nota valoarea de adevar, în acest caz, prin semnul 1 sau A; când propozitia este falsa spunem ca ea are valoarea de adevar ,falsul' si vom nota valoarea de adevar prin semnul 0 sau F.
Observatie. 0 si 1 sunt aici simboluri fara înteles numeric.
Vom nota propozitiile cu literele p, q, r... sau p1, p2,, p3 ... . Acestea se pot compune cu ajutorul asa-numitilor conectori logici ,non' , ,si' , ,sau' dând propozitii di ce în ce mai complexe.
De exemplu, consideram propozitia p: Balena este un mamifer. Negatia ﾡp este propozitia : Non balena este un mamifer sau, în limbajul obisnuit : Balena nu este un mamifer. În acest caz ﾡ p este o prpozitie falsa
Conjunctia propozitiilor. Conjunctia propozitiilor p, q este propozitia care se citeste p si q, notata p ʌ q si care este adevarata atunci si numai atunci când fiecare din propozitiile p, q este adevarata.
Disjunctia propozitiilor. Disjunctia propozitiilor p, q este propozitia care se citeste p sau q, notata p v q, si care este adevarata atunci si numai atunci când este adevarata cel putin una din propozitiile p, q.
Logica propozitiilor matematice
Logica propozitiilor matematice - În logică, prin propoziţie înţelegem un enunţ care poate fi ori adevărat ori fals. Oricărei propoziţii i se asociază o valoare de adevăr: este sau adevărată – şi atunci spunem că are valoarea de adevăr 1 – sau este falsă – şi atunci spunem că are valoarea de adevăr 0. Nici o propoziţie nu este în acelaşi timp şi adevărată şi falsă.
Elemente de logica matematica
O propozitie este sau adevarata sau falsa, neputand fii adevarata si falsa in acelasi timp.Exista in matematica, in alte stiinte si in viata curenta, enunturi despre care nu putem afirma cu certitudine ca sunt fie adevarate, fie false. Exista alte enunturi despre care nu putem afirma nici ca sunt adevarate, nici ca sunt false, decizia asupra adevarului sau falsitatii lor fiind conditionata de anumite date de referinta. Aceasta delimitare ne indreptateste sa definim una dintre aceste categorii, pentru a o distinge de cealalta.
Trimis de Calin Oana
Exemple. Consideram enunturile:
1)În orice triunghi suma unghiurilor sale este egala cu 180º ;
2) ,,3+2=5'';
3)''2>5''
4) Balena este un mamifer'' ;
5) Planeta Venus este satelit al Pamântului''.
Toate aceste enunturi sunt propozitii, deoarece despre fiecare putem sa stim daca este adevarata sau falsa.
De exemplu 1),2) si 4) sunt propozitii adevarate 10310u202k , iar 3) si 5) sunt propozitii false.
Observatie. O clasa foarte larga de propozitii adevarate 10310u202k o constituie teoremele din matmatica.
Sa consideram enunturile 1),,x+2=5'' ; 2)''x-1<4'' 3)''Deschide usa!'' ; 4)''Numarul x divide numarul y'' ; 5)''Atomul de aur este galben'.
Se observa ca 1), 2), 3), 4) si 5) sunt enunturi pentru care conditia de mai sus(de afi adevarat sau fals) nu este îndeplinita. Mai exact enunturile 1), 2) si 4) au caracter variabil, enuntul 3) este o porunca despre care este lipsit de sens sa afirmam ca este adevarata sau falsa, enuntul 5) este absurd, deoarece e lipsit de sens sa vorbim despre culoarea unui atom.
Valoare de adevar. Daca o propozitie este adevarata, spunem ca ea are valoarea de adevar ,adevarul' si vom nota valoarea de adevar, în acest caz, prin semnul 1 sau A; când propozitia este falsa spunem ca ea are valoarea de adevar ,falsul' si vom nota valoarea de adevar prin semnul 0 sau F.
Observatie. 0 si 1 sunt aici simboluri fara înteles numeric.
Vom nota propozitiile cu literele p, q, r... sau p1, p2,, p3 ... . Acestea se pot compune cu ajutorul asa-numitilor conectori logici ,non' , ,si' , ,sau' dând propozitii di ce în ce mai complexe.
p ﾡ p
1 0
0 1
Negatia propozitiilor. Negatia propozitiei p este propozitia non p care se noteaza ﾡ p si care este adevarata când p este falsa si falsa când p este adevarata. Valoarea de adevar a propozitiei ﾡ p este data in tabelul urmator:De exemplu, consideram propozitia p: Balena este un mamifer. Negatia ﾡp este propozitia : Non balena este un mamifer sau, în limbajul obisnuit : Balena nu este un mamifer. În acest caz ﾡ p este o prpozitie falsa
Conjunctia propozitiilor. Conjunctia propozitiilor p, q este propozitia care se citeste p si q, notata p ʌ q si care este adevarata atunci si numai atunci când fiecare din propozitiile p, q este adevarata.
p q p ʌ q
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 0
De exemplu, sa consideram propozitiile p: ,2+4+6' si q: ,Luna este satelit al Pamântului'. În acest exemplu p ʌ q este o propozitie adevarata deoarece p, q sunt amândoua adevarate. Deseori în loc de p ʌ q se mai foloseste notatia p&q.Disjunctia propozitiilor. Disjunctia propozitiilor p, q este propozitia care se citeste p sau q, notata p v q, si care este adevarata atunci si numai atunci când este adevarata cel putin una din propozitiile p, q.
p q p v q
1 1 1
1 0 1
0 1 1
0 0 0
Logica propozitiilor matematice
Logica propozitiilor matematice - În logică, prin propoziţie înţelegem un enunţ care poate fi ori adevărat ori fals. Oricărei propoziţii i se asociază o valoare de adevăr: este sau adevărată – şi atunci spunem că are valoarea de adevăr 1 – sau este falsă – şi atunci spunem că are valoarea de adevăr 0. Nici o propoziţie nu este în acelaşi timp şi adevărată şi falsă.
Elemente de logica matematica
O propozitie este sau adevarata sau falsa, neputand fii adevarata si falsa in acelasi timp.Exista in matematica, in alte stiinte si in viata curenta, enunturi despre care nu putem afirma cu certitudine ca sunt fie adevarate, fie false. Exista alte enunturi despre care nu putem afirma nici ca sunt adevarate, nici ca sunt false, decizia asupra adevarului sau falsitatii lor fiind conditionata de anumite date de referinta. Aceasta delimitare ne indreptateste sa definim una dintre aceste categorii, pentru a o distinge de cealalta.
Trimis de Calin Oana
Ce este matematica? Dar logica? Si economia?
Ce este matematica?
Matematica este în general definită ca știința ce studiază relațiile cantitative, modelele de structură, de schimbare și de spațiu. În sens modern, matematica este investigarea structurilor abstracte definite în mod axiomatic folosind logica formală.
Dar logica?
Logica este o specie a cunoașterii exacte. Obiectul cunoașterii sale este forma abstractă a gândirii umane. Logica studiind forma gândirii se deosebește de toate celelalte științe care rețin conținutul gândirii. Pe fizician, pe chimist, pe biolog, pe sociolog îl interesează în primul rând ce anume se afirmă sau se neagă într-un act de gandire.
Si economia?
Economia este o știință socială ce studiază producția și desfacerea, comerțul și consumul de bunuri și servicii. Potrivit definiției date de Lionel Robbins în 1932, economia este știința ce studiază modul alocării mijloacelor rare în scopuri alternative. Deoarece are ca obiect de studiu activitatea umană, economia este o știință socială
Matematica este în general definită ca știința ce studiază relațiile cantitative, modelele de structură, de schimbare și de spațiu. În sens modern, matematica este investigarea structurilor abstracte definite în mod axiomatic folosind logica formală.
Dar logica?
Logica este o specie a cunoașterii exacte. Obiectul cunoașterii sale este forma abstractă a gândirii umane. Logica studiind forma gândirii se deosebește de toate celelalte științe care rețin conținutul gândirii. Pe fizician, pe chimist, pe biolog, pe sociolog îl interesează în primul rând ce anume se afirmă sau se neagă într-un act de gandire.
Si economia?
Economia este o știință socială ce studiază producția și desfacerea, comerțul și consumul de bunuri și servicii. Potrivit definiției date de Lionel Robbins în 1932, economia este știința ce studiază modul alocării mijloacelor rare în scopuri alternative. Deoarece are ca obiect de studiu activitatea umană, economia este o știință socială
Trimis de Damaschin Nicoleta
Cutia enigmatică - joc interactiv din matematica
Mihai a fost vara aceasta la mare şi i-a adus de acolo un dar surioarei sale mai mici - Ina: o frumoasă cutiuţă împodobită cu 36 de scoici. Pe capacul cutiei erau săpate câteva linii care împart capacul în 8 secţiuni. Ina nu merge încă la şcoală, dar ştie să socotească până la 10.
Cadoul lui Mihai îi place mult prin faptul că de-a lungul fiecărei laturi a capacului sunt aşezate exact câte 10 scoici. Când numără scoicile aflate de-a lungul unei laturi, Ina le socoteşte pe toate câte se găsesc în secţiunile care formează latura respectivă.
Scoicile aflate în secţiunile de la colţuri intră în socoteala atât a laturii verticale, cât şi a celei orizontale. Într-o zi, ştergând cutia cu o cârpă, din nebăgare de seamă, mama a spart 4 scoici. Acum la numărătoare nu mai rezultau 10 scoici de-a lungul fiecărei laturi a capacului. Când o să se întoarcă de la grădiniţă, Ina o să se necăjească.
- Lasă mamă, - spuse Mihai, le aranjez eu în aşa fel, încât Ina nu va observa El dezlipi cu atenţie o parte din cele 32 de scoici rămase şi le lipi din nou cu atâta iscusinţă pe capacul cutiei, încât de-a lungul fiecărei laturi se găseau din nou câte 10 scoici. Peste câteva zile altă boroboaţă! Cutia căzu de pe masă şi s-au spart încă 6 scoici - au rămas doar 26.
Dar şi de data aceasta Mihai izbuti să aşeze în aşa fel cele 26 de scoici rămase, că de-a lungul fiecărei laturi Ina să poată număra, ca şi până acum, câte 10 scoici. E drept că, în ultimul caz, scoicile n-au mai putut fi aranjate pe capacul cutiei tot atât de simetric ca până atunci. Ina nu a băgat însă de seamă acest lucru.
Găsiţi ambele soluţii ale lui Mihai.
Cadoul lui Mihai îi place mult prin faptul că de-a lungul fiecărei laturi a capacului sunt aşezate exact câte 10 scoici. Când numără scoicile aflate de-a lungul unei laturi, Ina le socoteşte pe toate câte se găsesc în secţiunile care formează latura respectivă.
Scoicile aflate în secţiunile de la colţuri intră în socoteala atât a laturii verticale, cât şi a celei orizontale. Într-o zi, ştergând cutia cu o cârpă, din nebăgare de seamă, mama a spart 4 scoici. Acum la numărătoare nu mai rezultau 10 scoici de-a lungul fiecărei laturi a capacului. Când o să se întoarcă de la grădiniţă, Ina o să se necăjească.
- Lasă mamă, - spuse Mihai, le aranjez eu în aşa fel, încât Ina nu va observa El dezlipi cu atenţie o parte din cele 32 de scoici rămase şi le lipi din nou cu atâta iscusinţă pe capacul cutiei, încât de-a lungul fiecărei laturi se găseau din nou câte 10 scoici. Peste câteva zile altă boroboaţă! Cutia căzu de pe masă şi s-au spart încă 6 scoici - au rămas doar 26.
Dar şi de data aceasta Mihai izbuti să aşeze în aşa fel cele 26 de scoici rămase, că de-a lungul fiecărei laturi Ina să poată număra, ca şi până acum, câte 10 scoici. E drept că, în ultimul caz, scoicile n-au mai putut fi aranjate pe capacul cutiei tot atât de simetric ca până atunci. Ina nu a băgat însă de seamă acest lucru.
Găsiţi ambele soluţii ale lui Mihai.
Trimis de Alexa Maduta Gheorghe si Baceanu Catalin Dorin
Relatie dintre matematica si desen si logica acesteia: “Triunghi logica economie”
Matematica este o materie foarte veche. Din punct de vedere istoric, ramurile majore ale matematicii au derivat din necesitatea de a face calcule comerciale, de a măsura terenuri și de a predetermina evenimente astronomice cu scopuri agriculturale.
Aceste domenii specifice pot fi folosite pentru a delimita în mod generic tendințele matematicii până în ziua de astăzi, în sensul delimitării a trei tendințe specifice: studiul structurii, spațiului și al schimbărilor.
Matematica este în general definită ca știința ce studiază relațiile cantitative, modelele de structură, de schimbare și de spațiu. În sens modern, matematica este investigarea structurilor abstracte definite în mod axiomatic folosind logica formală.
In final, aici vorbim despre relatia dintre matematica si desen, eu cred ca desenul nu ar fii aparut daca matematica nu exista. Ca de exemplu lu-am o forma geometrica si anume, TRIUNGHIUL(nu conteaza de care) Triunghiul este folosit deobicei in matematica, geometrie etc, dar acesta poate fi folosit si in desen. Ca de exemplu:
In prima imagina regasim o serie de triunghiuri, aceasta formand un desen, unindu-se intre ele, la fel si-n a doua imagina care regasim un triunghi isoscel, format din 6 triunghiuri isosceles.
Lucrurile pot evoluând in desene si mai grele, in care regasim matematica cu formele ei geometrice:
Trimis de Chirita Radu Alexandru
Aceste domenii specifice pot fi folosite pentru a delimita în mod generic tendințele matematicii până în ziua de astăzi, în sensul delimitării a trei tendințe specifice: studiul structurii, spațiului și al schimbărilor.
Matematica este în general definită ca știința ce studiază relațiile cantitative, modelele de structură, de schimbare și de spațiu. În sens modern, matematica este investigarea structurilor abstracte definite în mod axiomatic folosind logica formală.
In final, aici vorbim despre relatia dintre matematica si desen, eu cred ca desenul nu ar fii aparut daca matematica nu exista. Ca de exemplu lu-am o forma geometrica si anume, TRIUNGHIUL(nu conteaza de care) Triunghiul este folosit deobicei in matematica, geometrie etc, dar acesta poate fi folosit si in desen. Ca de exemplu:
In prima imagina regasim o serie de triunghiuri, aceasta formand un desen, unindu-se intre ele, la fel si-n a doua imagina care regasim un triunghi isoscel, format din 6 triunghiuri isosceles.
Lucrurile pot evoluând in desene si mai grele, in care regasim matematica cu formele ei geometrice:
Trimis de Chirita Radu Alexandru
Tuesday, June 17, 2014
Cubul lui Rubbik
Toata lumea crede ca matematica inseamna numai cifre si ecuatii care sunt imposibil de rezolvat. Insa nu toata lumea stie ce poate ascunde matematica si anume jocuri matematice si logice foarte atractive care pot reprezenta o buna modalitate de a-ti utiliza timpul liber.
Printre aceste jocuri matematice si logice se numara si binecunoscutul Cubul Rubik. Este, poate, cel mai faimos puzzle. Un cub de plastic de câțiva centimetri, secționat pe fiecare direcție în câte trei "felii" astfel încât să se obțină 27 cuburi mai mici, dintre care numai 26 sunt vizibile. Fiecare față este colorată altfel decât celelalte și se poate roti în jurul axului ei central. Rotind de câteva ori la întâmplare feliile cubului, culorile "difuzează" rapid, pierzându-se într-un mozaic aparent incontrolabil în care numai cuburile din centrul fețelor mai amintesc de culoarea inițială.
Revenirea la ordinea inițială pare o speranță irealizabilă: există peste 43 miliarde de miliarde de configurații. Epidemia a fost pregatită în 1975când un tânăr arhitect maghiar, Erno Rubik, a brevetat o jucărioară multicoloră, menită să-i folosească drept material didactic pentru întărirea intuiției spațiale a studenților săi. În 1978, un amic a lui Rubik ia cubul cu el la Congresul de matematică de la Helsinki și astfel cubul ajunge pe mâna matematicienilor. Cubul a trecut din mână în mână, s-a făcut legătura cu teoria grupurilor (de permutări).
Virusul s-a răspândit cu repeziciune în Franța și Marea Britanie, a trecut apoi oceanul spre America și Japonia, a intrat în atenția unor coloși ai industriei și comerțului cu jucării astfel încât în 1980, grupul Ideal-Toy comanda Ungariei 6 milioane de cuburi.
Printre aceste jocuri matematice si logice se numara si binecunoscutul Cubul Rubik. Este, poate, cel mai faimos puzzle. Un cub de plastic de câțiva centimetri, secționat pe fiecare direcție în câte trei "felii" astfel încât să se obțină 27 cuburi mai mici, dintre care numai 26 sunt vizibile. Fiecare față este colorată altfel decât celelalte și se poate roti în jurul axului ei central. Rotind de câteva ori la întâmplare feliile cubului, culorile "difuzează" rapid, pierzându-se într-un mozaic aparent incontrolabil în care numai cuburile din centrul fețelor mai amintesc de culoarea inițială.
Revenirea la ordinea inițială pare o speranță irealizabilă: există peste 43 miliarde de miliarde de configurații. Epidemia a fost pregatită în 1975când un tânăr arhitect maghiar, Erno Rubik, a brevetat o jucărioară multicoloră, menită să-i folosească drept material didactic pentru întărirea intuiției spațiale a studenților săi. În 1978, un amic a lui Rubik ia cubul cu el la Congresul de matematică de la Helsinki și astfel cubul ajunge pe mâna matematicienilor. Cubul a trecut din mână în mână, s-a făcut legătura cu teoria grupurilor (de permutări).
Virusul s-a răspândit cu repeziciune în Franța și Marea Britanie, a trecut apoi oceanul spre America și Japonia, a intrat în atenția unor coloși ai industriei și comerțului cu jucării astfel încât în 1980, grupul Ideal-Toy comanda Ungariei 6 milioane de cuburi.
Trimis de Chitu Catalin
Relaţia matematică-economie
Relaţia matematică-economie ţine de domeniul epistemologiei ambelor stiinte însă aceasta nu trebuie privită ca un antagonism, ci ca un schimb permanent de informaţii, de metode, de rezultate.
Din dorinţa de a da un sens relaţiei dintre cele două domenii, vom începe prin a surprinde opinii despre caracteristicile fundamentale ale celor două ştiinte, raţionalismul, respectiv empirismul, cu scopul de a infirma concepţia comună conform căreia fiecare dintre aceastea este o caracteristică proprie doar a uneia dintre ştiinţele în discuţie.
Necesitatea matematicii în economie poate fi argumentată prin utilitatea acesteia pentru a nu fi acuzaţi de poliloghie, deşi, conform lui Paul Samuelson (Samuelson, 1952), „Matematica este un limbaj” şi orice text matematic poate fi exprimat, cu suficiente explicaţii, în limbaj curent.
Aşadar, putem înţelege utilizarea matematicii în economie ca o dovadă de cultură şi concizie, dar nu ca un
instrument care să ofere o haină de ştiinţificitate unui discurs altfel gol.
De aceea, în momentul în care decidem să utilizăm acest limbaj special şi specializat, trebuie să ne conformăm complet regulilor acestuia, adică să stabilim exact ipotezele în care lucrăm, să ne asigurăm că noţiunile folosite sunt bine definite din punct de vedere matematic (exemplu: nu împărţim la cantităţi care pot fi nule).
Pe scurt, utilizarea matematicii în economie este similară cu folosirea de citate din limbi străine, adică trebuie să ne asigurăm că acestea sunt potrivite contextului şi că „gramatica” utilizată este cea corectă. Dezbaterea utilităţii matematicii în ştiinţa economică trebuie privită ca o chestiune de măsură, de adecvare a instrumentului la scopul în care este folosit.
Trimis de Datcu Alexandra
Subscribe to:
Posts (Atom)