Elemente de logica matematica

     Logica matematica este teoria stiintifica a rationamentelor matematice, sub aspectul reconstruirii formale a acestora si a explicarii structurii lor.
   
     Diviziunile stiintei logicii matematice sunt calculul propozitiilor si calculul predicatelor.

     O constructie lingvistica se numeste enunt daca foloseste descrierea sau comunicarea faptelor. De asemenea, enuntul reprezinta ansamblul de semne carora li s-a dat un sens.

     Un enunt se numeste adevarat, daca afirmatia exprimata de el corespunde unui fapt (Aristotel), iar un enunt care nu este adevarat se numeste fals.

     Se spune ca un enunt respecta principiul tertului exclus daca el este adevarat sau fals; de asemenea, un enunt respecta principiul non-contradictiei daca nu este simultan adevarat sau fals.

     Propozitia logica reprezinta un enunt despre care se stie ca este sau adevarat sau fals, insa nu si una si alta simultan. Astfel, propozitia logica respecta ambele principii: principiul tertului exclus si principiul non-contradictiei.

     Logica presupune ca o propozitie exprima relatii obiective intre obiectele sau fenomenele naturii, gandirii si societatii. Prin urmare, logica se intereseaza de propozitiile cu sens, adica de acele propozitii in care se afirma (sau se neaga) ca anumite obiecte ale realitatii sunt (sau nu sunt) intr-un anumit fel, au (sau nu au) anumite relatii intre ele.

     De aici se ajunge inevitabil la impartirea propozitiilor studiate in logica matematica in propozitii adevarate si propozitii false.    
     O propozitie p este adevarata daca in ea se exprima ca anumite obiecte se comporta intr-un anumit fel, iar obiectele respective se comporta intr-adevar asa.
     O propozitie p este falsa daca in ’p’ se exprima ca anumite obiecte sau fenomene se comporta intr-un anumit fel, iar obiectele nu se comporta de fapt, astfel.
     O propozitie este sau adevarata sau falsa, neputand fii adevarata si falsa in acelasi timp.

     Exista in matematica, in alte stiinte si in viata curenta, enunturi despre care nu putem afirma cu certitudine ca sunt fie adevarate, fie false. Exista alte enunturi despre care nu putem afirma nici ca sunt adevarate, nici ca sunt false, decizia asupra adevarului sau falsitatii lor fiind conditionata de anumite date de referinta. Aceasta delimitare ne indreptateste sa definim una dintre aceste categorii, pentru a o distinge de cealalta.

NOTATII:
Propozitiile se noteaza cu litere mici ( p, q, r, s, t... sau p1, p2...) urmate, eventual, de enunt, care este scris intre ghilimele, atunci cand se doreste ca acesta sa fie precizat.
De exemplu:
1) p: ‚1 + 1 = 2’
2) q: ‚7 ≤ 2’
3) r: ‚In orice triunghi lungimea unei laturi este mai mica decat suma lungimilor celorlalte doua.’
Toate aceste enunturi sunt propozitii deoarece despre fiecare se poate spune daca este adevarata sau falsa. De exemplul 1) si 3) sunt propozitii adevarate, iar 2) este propozitie falsa.
O clasa extrem de larga de propozitii adevarate o constituie teoremele din matematica.

Din definitie, clasa tuturor propozitiilor se descompune in doua clase disjuncte, numite valori de adevar. Astfel, daca o propozitie este adevarata, spunem ca ea are valoarea de adevar adevarul si se noteaza, in acest caz, prin semnul 1 sau A. Cand propozitia este falsa, spunem ca ea are valoarea de adevar falsul si se noteaza prin semnul 0 sau F. In ambele cazuri, 0 si 1 sunt simboluri fara inteles numeric.

  p  q  r
A / 1 F / 0 A / 1
De cele mai multe ori, valorile de adevar sunt inregistrate intr-un asa-zis tabel de adevar. De exemplu, pentru propozitiile p, q, r considerate mai sus avem tabelul de adevar:

De asemenea, valoarea de adevar a unei propozitii se noteaza v(p). Tabelul precedent exprima faptul ca:

               1 daca propozitia este adevarata
v(p) =
               0 daca propozitia este falsa

In matematica se intalnesc si enunturi a caror valoare de adevar este necunoscuta. Acestea se numesc conjecturi.
De exemplu: enuntul ‚Orice numar par mai mare sau egal cu 6 este suma a doua numere prime impare’ este conjectura lui Goldbach, care dateaza din 1742. Pana in prezent, nu s-a reusit nici demonstrarea si nici infirmarea sa.
Definitiile si toate conceptele matematice se bazeaza pe teoria multimilor. Mai mult, metodele rationamentului matematic sunt o combinatie de argumente ale logicii matematice si teoriei multimilor.

O multime este rezultatul cuprinderii intr-un singur tot a unor obiecte determinate ale perceperii sau gandirii noastre. Aceste obiecte se numesc elemente ale multimii (Cantor).

Multimile se noteaza cu litere mari, iar elementele lor cu litere mici. Daca obiectul a este un element al multimii M, se scrie a   M (se citeste ‚a apartine M’ sau ‚M contine pe a’). Se scrie a   M daca a nu este un element al lui M.

Predicatul (sau propozitia cu variabile) este un enunt p ( x1, x2, ... xn) ce depinde de variabilele x1, x2, ... xn  (n   N* ), care are proprietatea ca pentru orice valori date variabilelor din multimile A1, A2, ... An el devine o propozitie logica.
Deci un predicat este bine precizat de enuntul sau si de multimile in care variabilele iau valori (aceste multimi formeaza ceea ce se numeste domeniul de definitie al predicatului). Predicatele sunt unare, binare, ternare, ... dupa cum depind, respectiv de una, doua, trei, ... variabile.

De exemplu: p(x): ‚x + 2 = 4’ , x  Z; predicatul p(x) este adevarat pentru x = 2, dar este fals pentru x = 1.

Ecuatiile, inecuatiile, identitatile sunt predicate. Teoremele matematice sunt bazate pe predicate.

Trimis de Florescu Alexandru

Matematica - jocuri interesante distractive bazate pe logica

 

Trimis de Alexandrescu Florina - Denis

Sahul si matematica - legatura dintre stiinta si joc

   
    S-a spus de multe ori ca sahul este matematica.elementul cel mai izbitor in aceastaanalogie il constituie caracterul deductiv si conditionarea riguroasa a fiecarei etape de etapele anterioare.

     De aici, ideea de calcul subjacenta atat sahului cat si matematicii. Inspijinul acestei analogii pledeaza si pasiunea pentru sah a multor matematicieni. Unii dintre ei au la activul lor performante in ambele domenii.

     Dupa primul campion mondial la sah, Steinitz, a urmat un important algebrist, Emanuel Lasker care a devenit binecunoscut atat ca sahist, fiind intr-o anumita perioada campion mondial, cat si ca matematician.Totusi afinitatea dintre sah si matematica fost de mai multe ori contestata.

    Este mai intai interesant faptul ca o serie de matematicieni au contestat ideea ca matematica ar fi in primul rand deductie.

     Cel mai recent exemplu in aceasta privinta il constituie Paul R.Halmos in cartea sa I want to be a mathematician,Springer New York . Am avut totdeauna impresia ca logica deductiva este numai fatada si igiena matematicii, nu si substanta ei. Nu cumva un fenomen asemanator se intampla si cu sahul. Am discutataceasta chestiune intr-un ciclu de articole si din marturiile evocate a rezultat ca raspunsul este probabil afirmativ.

     Am aratat acolo ca Nell Charness, care in 1974 sustinuse o tezade doctorat privind psihologia jocului de sah, a ajuns la concluzia ca un jucator de sah se bazeaza nu atat pe analize deductive, cat pe capacitatea sa de memorie si pe organizareainformatiei in termeni de configuratii plauzibile de piese, miscari posibile si consecinteale lor. Recunoasterea configuratiilor face parte din preocuparile unui domeniu in plinadezvoltare, „Recunoasterea formelor”.

    De asemenea, dupa cum arata Peter W.Frey(Chess skill in man and machine), alegerea unei mutari pare sa fie conditionata in primul rand de calitatea perceptiei si,in mod special,de capacitatea de a recunoaste unimens numar de procedee de joc disponibile,deci acumulate si catalogate de experintasahista anterioara.Sahul s-a dovedit a fi nu atat un joc implicand un calcul foarte lung catunul de observatie,de intuitie a situatiei de pe tabla de joc.

     Unui maestru ii este suficienta o privire sumara pentru a sesiza o mutare buna, in timp ce un incepator este in stareca,chiar dupa o lunga reflectie,sa faca o mutare dezavantajoasa. Ceea ce-i deosebeste nueste neaparat profunzimea gandirii. Arborele de posibilitati care mereu se ramifica infunctie de raspunsul ipotetic al partenerului este de obicei examinat pana la un nivel careeste cam acelasi si la un simplu amator si la un specialist.

     Acest nivel pare a fi determinatnu de gradul de pregatire sahista ,ci de restrictiile generale care guverneazaatentia,memoria si ratiunea. Insa in timp ce profanul analizeaza acveste posibilitati lainamplare,cunoscatorul le ierarhizeaza aproape spontan,dand prioritate anumitor variante.

Trimis de Buica Cristian

Matematica - limbaj bazat pe simboluri abstracte

                                           
        Matematica este un limbaj bazat pe un sistem de simboluri abstracte util pentru a analiza şi descrie aspecte cantitative ale realităţii care ne înconjoară prin teoreme şi axiome. Cu ajutorul matematicii se pot realiza o analize complexe ale seriilor de date şi se pot extrage inferenţe logice din astfel de date. Matematica este folosită în zilele noastre de toate ştiinţele într-o măsură mai mică sau mai mare. Domenii şi instrumente specifice au fost derivate pe baza matematicii: statistica, econometria, programarea cu ajutorul calculatorului, calculul actuarial etc.
Utilizarea matematicii în economie s-a făcut în câteva etape distincte (cu precădere în ultimii 150 de ani):

      Matematica este bună pentru ştiinţa economică în măsura în care permite calcularea / măsurarea / cuantificarea unor aspecte legate de derularea afacerilor (în contabilitate de exemplu putem folosi matematica pentru a analiza evoluţia vânzărilor, dinamica stocurilor). În momentul în care dorim să facem o predicţie (a vânzărilor) folosind aparatul matematic în acelaşi mod în care fizicienii îl folosesc în cercetările lor începem să avem probleme.

      Economia îşi pierde astfel din esenţă şi din consistenţă şi nu mai poate oferi soluţii la ceva ce este echilibrat de la centru printr-o decizie politică dedusă pe bază de agregate macroeconomice (imperfecte). Cercetările economiştilor care refuză să intre în acest joc macabru al obsesiei pentru analiza cantitativă sunt izolate, tratate pe nedrept şi cu sfidare ca fiind neserioase şi lipsite de substanţă şi consistenţă (culmea) economică. Consecinţele (culmea) economice sunt uşor de văzut cu ochiul

Sursa: Mică enciclopedie matematică | Trimis de Bunica Daciana

Matematica - disciplina independenta fundamentala

     Matematica, în interdependenţă cu alte discipline - fizica, chimia, tehnologia, informatica, economia, biologia, medicina, ştiinţele umane -, ocupă astăzi o poziţie importantă în lumea ştiinţifică şi în economia modernă. Matematica are un rol esenţial în dezvoltarea instrumentelor de modelare folosite de aproape toate disciplinele şi este omniprezentă în societatea contemporană hipertehnologizată.

     Oamenilor care practică cele mai variate meserii le sunt necesare cunoştinţe de matematică (muncitori calificaţi, tehnicieni, angajaţi din industrie, administraţie, comerţ, ingineri).
Matematica se integrează, de asemenea, într-o vastă ţesătură care include elemente ale tuturor domeniilor culturii. „Dacă elevii ar afla, din manualele după care învaţă, despre bazele pitagoreice ale muzicii, despre rolul geometriei în descoperirea perspectivei în pictură şi despre regularităţile aritmetice care guvernează deopotrivă ritmurile naturii şi pe cele ale existenţei umane, atunci legătura nu ar mai părea singulară, ci în firea lucrurilor. Arta de calculator, rolul geometriei fractale în ştiinţă şi în artă deopotrivă, legăturile cu ştiinţa haosului nu ar mai părea bizarerii la modă, ci fenomene care se aşază în mod firesc într-o istorie milenară." (Solomon Marcus)

     Matematica dezvoltă creativitatea şi spiritul critic. Modelul matematic de gândire este un exemplu pentru orice altă disciplină. A lucra în spiritul logicii matematice înseamnă a lucra în etape riguros ordonate, folosind în fiecare nouă etapă noţiunile şi cunoştinţele dobândite în etapele anterioare.

     Astăzi, aproape orice abordare ştiinţifică interdisciplinară implică utilizarea cunoştinţelor de matematică. De exemplu, economia nu ar putea funcţiona fără analizele matematice; în medicină, evoluţia unei epidemii se determină matematic; în agricultură, se utilizează analiza statistică a solului în care se ţine cont de culturi anterioare; în biologie, se pot clasifica plantele după criterii bazate pe regresie statistică; în pictură sau fotografie, pentru a crea lucrări interesante, se poate folosi geometria. O pictură se poate analiza, din punct de vedere matematic, din perspectiva geometriei formelor. O trăsătură comună în majoritatea portretelor celebre este proporţia de aur. De asemenea, există plante care au aranjamentul frunzelor dispus într-o secvenţă Fibonacci în jurul tulpinii, pentru a avea o expunere optimă la soare.

     Un alt aspect al interacţiunii matematicii cu celelalte discipline este influenţa pe care acestea au exercitat-o şi o exercită asupra matematicii. Matematica a apărut şi s-a dezvoltat în contextul celorlalte ştiinţe, beneficiind de achiziţiile lor.
     În cazul matematicii moderne, teoria probabilităţilor nu ar fi căpătat o importanţă şi o dezvoltare atât de mare, dacă nu ar fi fost permanent alimentată de fizică, biologie, economie, lingvistică şi de toate ştiinţele socio-umaniste, din care nu lipseşte factorul aleatoriu. Teoria lanţurilor Markov a apărut ca urmare a studiului alternanţei consoanelor cu vocalele în Evgheni Oneghin al lui Puşkin. Teoria jocurilor a fost iniţiată în anii '40 de John von Neumann şi Oskar Morgenstern, în încercarea de a rezolva problemele de tactică şi strategie de război. Teoria limbajelor formale este o ramură a matematicii stimulată de lingvistică, biologia celulară şi cea moleculară. Aceste exemple arată că, de fapt, matematica are şi o funcţie unificatoare în sistemul ştiinţelor, contribuind la stabilirea unui limbaj comun, la realizarea în viitor a unei „ştiinţe universale".

     În concluzie, aşa cum spunea profesorul Solomon Marcus: „Universalitatea matematicii este complet echilibrată de aservirea ei faţă de celelalte discipline. Este greu de răspuns dacă matematica restituie surorilor ei mai mult decât acestea i-au împrumutat. Dar nici nu este important acest lucru; ceea ce este important este faptul că matematica pune la dispoziţia celorlalte discipline un produs prelucrat, esenţial diferit de cel pe care l-a împrumutat de la acestea".

Trimis de Contu Ana - Maria

Care este legatura matematicii cu logica si economia?

      Se obisnuieste sa se faca diverse comparatii si corelari între stiinte, discipline, mai ales când acestea pot intersecta sau sunt “vecine” – domenial, metodologic, sub aspectul limbajului,etc. Pe acest fond se realizeaza diviziuni, clasificari, sistematizari, etc. În acelasi context al “vecinatatii” semantice, informationale se pot determina si eventual “calcula” distante s.a.m.d.

       Constienti sau nu, e multa matematica in jurul nostru.
           Forme, echilibru, rezistente, ca sa nu mai zic ca aproape totul ” e pe plus ” sau ” e pe minus “.
           De fapt chiar si ” zero “ are o valoare.
           Cu toate acestea insa, locul si rolul matematicii in viata individuala si in societate ( in opinia mea ) inca se defineste.

         In viata avem tot felul de probleme, multe le au si o aplicatie matematica, nu toate, dar sigur mai multe decat v-ati putea imagina la o prima intrevedere.

        Apoi invatam matematica la scoala, lucru care nu ne ajuta in rezolvarea problemelor din lumea reala, decat intr-o masura destul de mica, prea mica, incredibil de mica. Totusi deschide un capitol pe care in ziua de azi nu-l intalnim in lumea reala si anume – calculul. Asa se ajunge ca in scoala din totalul timpului care se acorda pentru matematica si logica un 80% sanatos sa fie dedicat calcului.      Peste asta chiar accentul se pune pe calcul, pe verificari, pe modalitatea de calcul, sau chiar pe rezultatul final.

       Practic nu ne intereseaza cum a ajuns Ana sa aiba mere, ci ne intereseaza cate tine in fiecare mana si cate are acum in total.

       Credeti ca in economia de azi computerul, telefonul, playerul, ba chiar ceasul de mana au vreo problema in a calcula suma merelor? sau derivate si integrale, intersectii de multimi si vectori? Sunt  sigur ca nu.

        Dar despre cum a facut Ana rost de mere e mult mai greu de spus ceva, acolo intervine cunoasterea realitatii, aplicarea logicii, intelegerea probabilitatilor etc. si vad aici mai mult de munca din partea logicii. Aici vine intrebarea interioara din copilarie care ma macina prin scoala generala, cum se face ca invat mai multa logica din ce citeam pentru literatura, decat din studiul la matematica.

       Matematica este bună pentru ştiinţa economică în măsura în care permite calcularea / măsurarea / cuantificarea unor aspecte legate de derularea afacerilor (în contabilitate de exemplu putem folosi matematica pentru a analiza evoluţia vânzărilor, dinamica stocurilor). În momentul în care dorim să facem o predicţie (a vânzărilor) folosind aparatul matematic în acelaşi mod în care fizicienii îl folosesc în cercetările lor începem să avem probleme. Probleme şi mai mari apar atunci când predicţiile se fac nu pe vânzări la nivelul unei companii ci pe vânzările agregate ale întregii economii (aceste probleme apar atât din maniera de agregare a datelor cât şi din relevanţa rezultatelor).

      In concluzie exista o legatura intre matematica si mai toate stiintele,dar impreuna cu logica si economia cu care formeaza o legatura mai stransa care depind una de alta si formeaza impreuna triunghiul matematica,economie,logica.

Trimis de Cristache Cristian

Triunghiul - elemente si clasificare in matematica

Se dau trei puncte distincte necoliniare, figura geometrică dată de reuniunea segmentelor închise determinate de ele se numește triunghi și este una dintre formele poligonale fundamentale ale geometriei.
Elementele triunghiului

• punctele A,B,C se numesc vârfurile triunghiului.
• [AB];[BC];[AC] se numesc laturile triunghiului.
•  se numesc unghiurile(interne) triunghiului.

Clasificarea triunghiurilor

- în funcție de lungimile laturilor
Un triunghi cu toate laturile congruente se numește triunghi echilateral;. Un triunghi cu două laturi congruente se numește triunghi isoscel Un triunghi care are laturile de lungimi diferite se numește  triunghi scalen (sau oarecare).

Triunghi echilateral

Triunghi isoscel

Triunghi scalen (oarecare)

- după felul unghiurilor
Triunghiurile cu toate unghiurile ascuțite sunt triunghiuri ascuțitunghice. Dacă, însă, unul din unghiuri este drept, triunghiul este denumit dreptunghic. Triunghiul cu un unghi drept se numește triunghi dreptunghic

•Triunghi dreptunghic.

•Triunghi obtuzunghic.

•Triunghi ascutitunghic.

Sursa: Clopotel.ro | Trimis de Calea Simona Gabriela